3 طرق لتحليل ثلاثي الحدود

2024 مؤلف: Jason Gerald | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-15 08:08

ثلاثي الحدود هو تعبير جبري يتكون من ثلاثة حدود. على الأرجح ، ستبدأ في تعلم كيفية تحليل ثلاثي الحدود التربيعي ، مما يعني أن ثلاثي الحدود مكتوب في شكل ax² + ب س + ج. هناك بعض الحيل التي يجب تعلمها ، والتي يمكن استخدامها للعديد من الأنواع المختلفة من ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية ، ولكن ستتمكن من استخدامها بشكل أفضل وأسرع مع الممارسة. كثيرات الحدود من الدرجة الأعلى ، بمصطلحات مثل x³ أو x⁴، لا يمكن حلها دائمًا بنفس الطريقة ، ولكن يمكنك غالبًا استخدام التحليل أو الاستبدال البسيط لتحويلها إلى مشكلة يمكن حلها مثل أي صيغة تربيعية أخرى.

خطوة

طريقة 1 من 3: تحليل x² + ب س + ج

الخطوة 1. تعلم الضرب PLDT

ربما تكون قد تعلمت كيفية ضرب PLDT ، أو "First ، Outside ، In ، Last" لمضاعفة التعبيرات مثل (x + 2) (x + 4). من المفيد معرفة كيفية عمل هذا الضرب قبل أن نحلل:

• اضرب القبائل أولا: (x+2)(x+4) = x² + _

• اضرب القبائل في الخارج: (x+2) (س +

  الخطوة 4.) = س²+ 4x + _

• اضرب القبائل في: (x +

  الخطوة 2.)(x+4) = س²+ 4x + 2x + _

• اضرب القبائل أخير: (x +

  الخطوة 2.) (x

  الخطوة 4.) = س²+ 4x + 2x

  الخطوة 8.

• بسّط: x²+ 4x + 2x + 8 = س²+ 6 س + 8

الخطوة 2. فهم العوملة

عندما تضرب حدين باستخدام طريقة PLDT ، تحصل على ثلاثي (تعبير به ثلاثة حدود) في الصورة a x²+ b x + c ، حيث a و b و c أرقام عادية. إذا بدأت بمعادلة لها نفس الشكل ، يمكنك تحليلها مرة أخرى في ذات الحدين.

• إذا لم تتم كتابة المعادلات بهذا الترتيب ، فأعد ترتيب المعادلات بحيث يكون لها هذا الترتيب. على سبيل المثال ، أعد الكتابة 3 س - 10 + س² يصبح x² + 3 س - 10.
• لأن أعلى قوة هي 2 (x²، يسمى هذا النوع من التعبير التربيعي.

الخطوة الثالثة. اترك مساحة فارغة للإجابة على شكل ضرب PLDT

في الوقت الحالي ، اكتب فقط (_ _)(_ _) حيث ستكتب الإجابة. سنملأها أثناء العمل عليها

لا تكتب + أو - بين المصطلحات الفارغة لأننا لا نعرف العلامة الصحيحة بعد

الخطوة 4. املأ الشروط الأولى

بالنسبة للمسائل البسيطة ، فإن أول مصطلح من ثلاثي الحدود هو x فقط²، الشروط الموجودة في المركز الأول هي دائمًا x و x. هذه هي عوامل المصطلح x² لأن x ضرب x = x².

• مثالنا x² + 3x - 10 بدءًا من x²، حتى نتمكن من كتابة:
• (x _) (x _)
• سنعمل على حل مشاكل أكثر تعقيدًا في القسم التالي ، بما في ذلك القيم الثلاثية التي تبدأ بمصطلحات مثل 6x² أو -x². في غضون ذلك ، اتبع هذه الأسئلة النموذجية.

الخطوة 5. استخدم التحليل لتخمين المصطلحات الأخيرة

إذا عدت إلى الوراء وقراءة الخطوات الخاصة بكيفية ضرب PLDT ، فسترى أن ضرب آخر حد سينتج عنه الحد الأخير في كثير الحدود (المصطلحات التي لا تحتوي على x). إذن ، من أجل التحليل ، علينا إيجاد عددين ينتج عنهما الحد الأخير عند ضربهما.

• في مثالنا x² + 3x - 10 ، الحد الأخير هو -10.
• ما هي عوامل -10؟ ما الرقم مضروبًا في -10؟
• هناك عدة احتمالات: -1 مرات 10 ، 1 مرات -10 ، -2 مرات 5 ، أو 2 مرات -5. اكتب هذه الأزواج في مكان ما لتتذكرها.
• لا تغير إجابتنا حتى الآن. يجب أن تبدو إجابتنا كما يلي: (x _) (x _).

الخطوة 6. اختبر الاحتمالات التي تتطابق مع المنتج الخارجي والداخلي

لقد قلصنا الشروط الأخيرة إلى عدد قليل من الاحتمالات. استخدم النظام التجريبي لاختبار كل الاحتمالات ، وضرب المصطلحات الخارجية والداخلية ومقارنة المنتج بثلاثية الحدود. على سبيل المثال:

• كانت مشكلتنا الأصلية تحتوي على المصطلح "x" عند 3x ، لذا يجب أن تتطابق نتائج الاختبار مع هذا المصطلح.
• الاختبارات -1 و 10: (x-1) (x + 10). الخارج + الداخل = 10x - x = 9x. خاطئ.
• الاختبارات 1 و -10: (x + 1) (x-10). -10 س + س = -9 س. هذا خطأ. في الواقع ، إذا قمت باختبار -1 و 10 ، فستجد أن 1 و -10 عكس الإجابة أعلاه: -9x بدلاً من 9x.
• الاختبارات -2 و 5: (x-2) (x + 5). 5 س - 2 س = 3 س. تتوافق النتيجة مع كثير الحدود الأولي ، لذا إليك الإجابة الصحيحة: (x-2) (x + 5).
• في حالات بسيطة مثل هذه ، إذا لم يكن لديك ثابت قبل الحد x²، يمكنك استخدام الطريقة السريعة: فقط اجمع العاملين وضع علامة "x" خلفها (-2 + 5 → 3x). ومع ذلك ، لا تعمل هذه الطريقة مع المشكلات الأكثر تعقيدًا ، لذلك من الأفضل تذكر "الطريق الطويل" الموضح أعلاه.

طريقة 2 من 3: تحليل العوامل الثلاثية الأكثر تعقيدًا

الخطوة الأولى: استخدم التحليل البسيط لتبسيط المسائل الأكثر تعقيدًا

على سبيل المثال ، عليك أن تأخذ في الحسبان 3x² + 9 س - 30. ابحث عن رقم يمكنه تحليل جميع الحدود الثلاثة ("العامل المشترك الأكبر" أو العامل المشترك الأكبر). في هذه الحالة ، يكون العامل المشترك الأكبر هو 3:

• 3x² = (3) (س²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• وهكذا ، 3x² + 9 س - 30 = (3) (س²+ 3x-10). يمكننا تحليل ثلاثي الحدود الجديد باستخدام الخطوات الموضحة في القسم أعلاه. ستكون إجابتنا النهائية (3) (x-2) (x + 5).

الخطوة الثانية: ابحث عن العوامل الأكثر تعقيدًا

في بعض الأحيان ، قد تشتمل عملية التحليل على متغير ، أو قد تحتاج إلى التحليل عدة مرات للعثور على أبسط تعبير ممكن. وهنا بعض الأمثلة:

• 2x²ص + 14 س ص + 24 ص = (2 س)(x² +7 س + 12)
• x⁴ + 11x³ - 26 ضعفًا² = (x²)(x² +11 × - 26)
• -x² + 6 س - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
• لا تنس إعادة تشكيل ثلاثي الحدود الجديد ، باستخدام الخطوات الموجودة في الطريقة الأولى. تحقق من عملك وابحث عن أمثلة لمشاكل مماثلة في نماذج الأسئلة بالقرب من أسفل هذه الصفحة.

الخطوة 3. حل مسائل مع عدد أمام x².

لا يمكن اختزال بعض القيم الثلاثية من الدرجة الثانية إلى أسهل أنواع المشاكل. تعرف على كيفية حل مشكلات مثل 3x² + 10x + 8 ، ثم تدرب بنفسك مع نماذج الأسئلة في أسفل هذه الصفحة:

• حدد إجابتنا لتكون: (_ _)(_ _)
• سيكون لكل حد "الأول" x واحد ، وضربهما نحصل على 3x². هناك احتمال واحد فقط: (3x _) (x _).
• اكتب قائمة عوامل 8. الاحتمالات هي 1 ضرب 8 أو 2 ضرب 4.
• اختبر هذا الاحتمال باستخدام المصطلحين الخارجي والداخلي. لاحظ أن ترتيب العوامل مهم جدًا لأن الحد الخارجي مضروب في 3x بدلاً من x. جرب كل الاحتمالات حتى تحصل على Out + In = 10x (من المشكلة الأصلية):
• (3 س + 1) (س + 8) → 24 س + س = 25 س لا
• (3 س + 8) (س + 1) → 3 س + 8 س = 11 س لا
• (3 س + 2) (س + 4) → 12 س + 2 س = 14 س لا
• (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x نعم. هذا هو العامل الصحيح.

الخطوة 4. استخدم الاستعاضة عن القيم الثلاثية ذات الترتيب الأعلى

قد يفاجئك كتاب الرياضيات الخاص بك بالمعادلات ذات القوى العالية ، مثل x⁴، حتى بعد استخدام التخصيم البسيط لتسهيل المشكلة. حاول استبدال متغير جديد يحوله إلى مشكلة تعرف كيفية حلها. على سبيل المثال:

• x⁵+13 ضعفًا³+36 ضعفًا
• = (س) (س⁴+13 ضعفًا²+36)
• لنقم بإنشاء متغير جديد. لنفترض ص = س² ووضعها فيه:
• (خ) (ص²+13 سنة +36)
• = (س) (ص + 9) (ص + 4). الآن ، قم بتحويله مرة أخرى إلى المتغير الأولي:
• = (س) (س²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

طريقة 3 من 3: تحليل الحالات الخاصة

الخطوة 1. أوجد الأعداد الأولية

انظر لترى ما إذا كان الثابت في الحد الأول أو الثالث من ثلاثي الحدود عددًا أوليًا. العدد الأولي لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى الرقم 1 ، لذلك لا يوجد سوى زوج واحد محتمل من العوامل ذات الحدين.

• على سبيل المثال ، في x² + 6x + 5 ، 5 هو عدد أولي ، لذا يجب أن تكون ذات الحدين بالصيغة (_ 5) (_ 1).
• في مشكلة 3x²+ 10x + 8 ، 3 عدد أولي ، لذا يجب أن تكون ذات الحدين على شكل (3x _) (x _).
• للأسئلة 3x²+ 4x + 1 ، كل من 3 و 1 أعداد أولية ، لذا فإن الحل الوحيد الممكن هو (3x + 1) (x + 1). (لا يزال يتعين عليك ضرب هذا الرقم للتحقق من إجابتك لأن بعض التعبيرات لا يمكن تحليلها إلى عوامل على الإطلاق - على سبيل المثال ، 3x²+ 100x + 1 ليس له عامل.)

الخطوة الثانية: اكتشف ما إذا كانت ثلاثية الحدود هي مربع كامل

يمكن تحليل ثلاثي الحدود المربع الكامل إلى حلقتين متطابقتين ، وعادة ما يتم كتابة العامل على النحو التالي (x + 1)² وليس (x + 1) (x + 1). فيما يلي بعض الأمثلة التي تميل إلى الظهور في الأسئلة:

• x²+ 2 س + 1 = (س + 1)²و x²-2 س + 1 = (س -1)²
• x²+ 4x + 4 = (س + 2)²و x²-4 س + 4 = (س -2)²
• x²+ 6 س + 9 = (س + 3)²و x²-6 س + 9 = (س -3)²
• ثلاثي الحدود المربع الكامل على شكل أ س² يحتوي + bx + c دائمًا على حدين a و c يمثلان مربعين كاملين موجبين (مثل 1 أو 4 أو 9 أو 16 أو 25) ومصطلح واحد b (موجب أو سالب) يساوي 2 (a * √c).

الخطوة الثالثة. اكتشف ما إذا كانت المشكلة ليس لها حل

لا يمكن تحليل جميع القيم الثلاثية إلى عوامل. إذا كنت لا تستطيع تحليل ثلاثي الحدود التربيعي (ax²+ bx + c) ، استخدم الصيغة التربيعية للعثور على الإجابة. إذا كان الجواب الوحيد هو الجذر التربيعي لرقم سالب ، فلا يوجد حل رقمي حقيقي ، فالمشكلة ليس لها عوامل.

بالنسبة إلى القيم الثلاثية غير المربعة ، استخدم معيار آيزنشتاين ، الموضح في قسم التلميحات

الإجابات وعينات الأسئلة

1. إجابات لأسئلة "العوملة المعقدة".

   هذه أسئلة من خطوة "العوامل الأكثر تعقيدًا". لقد قمنا بتبسيط المشكلات إلى مشكلات أسهل ، لذا حاول حلها باستخدام الخطوات الواردة في الطريقة الأولى ، ثم تحقق من عملك هنا:

   • (2 ص) (س² + 7 س + 12) = (س + 3) (س + 4)
   • (x²) (x² + 11 س - 26) = (x + 13) (x-2)
   • (-1) (x² - 6 س + 9) = (س -3) (س -3) = (x-3)²

2. جرب مشاكل العوملة المعقدة.

   هذه المشكلات لها نفس العامل في كل مصطلح يجب أخذه في الاعتبار أولاً. قم بإغلاق الفراغات بعد علامة يساوي لرؤية الإجابات حتى تتمكن من التحقق من عملك:

   • 3x³+ 3x²-6x = (3x) (x + 2) (x-1) احظر الفراغ لترى الإجابة
   • -5x³ذ²+30 ضعفًا²ذ²-25 سنة²س = (-5 س ص ^ 2) (س -5) (س -1)

3. تدرب على استخدام الأسئلة. لا يمكن تحويل هذه المشكلات إلى معادلات أسهل ، لذلك عليك أن تجد الإجابة في النموذج (_x + _) (_ x + _) باستخدام التجربة والخطأ:

   • 2x²+ 3x-5 = (2x + 5) (x-1) بلوك لترى الجواب
   • 9x²+ 6 س + 1 = (3 س + 1) (3 س + 1) = (3 س + 1)² (تلميح: قد ترغب في تجربة أكثر من زوج عامل مقابل 9x.)

   نصائح

   • إذا لم تتمكن من معرفة كيفية تحليل ثلاثي الحدود التربيعي (ax²+ bx + c) ، يمكنك استخدام الصيغة التربيعية لإيجاد x.

   • بينما لا تحتاج إلى معرفة كيفية القيام بذلك ، يمكنك استخدام معايير آيزنشتاين لتحديد ما إذا كان لا يمكن تبسيط كثير الحدود وتحليلها إلى عوامل. ينطبق هذا المعيار على أي كثيرة الحدود ولكن من الأفضل استخدامها لثلاثية الحدود. إذا كان هناك عدد أولي p يقسم الشرطين الأخيرين بالتساوي ويفي بالشروط التالية ، فلا يمكن تبسيط كثير الحدود:

     • المصطلحات الثابتة (بدون المتغيرات) هي مضاعفات p لكن ليست مضاعفات p².
     • البادئة (على سبيل المثال ، في ax²+ bx + c) ليس من مضاعفات p.
     • على سبيل المثال ، 14x² + 45x +51 لا يمكن تبسيطه لأن هناك عددًا أوليًا (3) يمكن القسمة على كل من 45 و 51 ، لكن لا يقبل القسمة على 14 ، و 51 لا يقبل القسمة على 3².

   تحذير

   في حين أن هذا صحيح بالنسبة لثلاثيات الحدود التربيعية ، فإن ثلاثية الحدود التي يمكن تحليلها إلى عوامل ليست بالضرورة ناتجًا عن حدين. على سبيل المثال ، x⁴ + 105 س + 46 = (س² + 5 س + 2) (س² - 5x + 23).