6 طرق لتحليل كثيرات الحدود من الدرجة الثانية (المعادلات التربيعية)

2024 مؤلف: Jason Gerald | [email protected]. آخر تعديل: 2023-12-16 10:53

تحتوي كثير الحدود على متغير (س) بقوة ، تُعرف بالدرجة ، والعديد من المصطلحات و / أو الثوابت. لتحليل كثير الحدود يعني تقسيم المعادلة إلى معادلات أبسط يمكن ضربها. هذه المهارة في الجبر 1 وما فوق ، وقد يكون من الصعب فهمها إذا لم تكن مهارات الرياضيات لديك في هذا المستوى.

خطوة

يبدأ

الخطوة 1. قم بإعداد المعادلة الخاصة بك

التنسيق القياسي للمعادلة التربيعية هو:

فأس² + ب س + ج = 0

ابدأ بترتيب الشروط في المعادلة من أعلى إلى أدنى قوة ، تمامًا كما هو الحال في هذا التنسيق القياسي. على سبيل المثال:

6 + 6x² + 13 س = 0

سنعيد ترتيب هذه المعادلة بحيث يسهل التعامل معها بمجرد تحريك المصطلحات:

6x² + 13 س + 6 = 0

الخطوة 2. ابحث عن عامل الشكل باستخدام إحدى الطرق التالية

ينتج عن تحليل كثير الحدود معادلتين أبسط يمكن ضربهما لإنتاج كثير الحدود الأصلي:

6x² + 13 س + 6 = (2 س + 3) (3 س + 2)

في هذا المثال ، (2x + 3) و (3x + 2) هي عوامل المعادلة الأصلية ، 6x² + 13 س + 6.

الخطوة 3. تحقق من عملك

اضرب العوامل التي لديك. ثم اجمع المصطلحات المتشابهة وبذلك تكون قد انتهيت. أبدا ب:

(2x + 3) (3x + 2)

لنحاول ضرب المصطلحات باستخدام PLDT (أولًا - خارج - داخل - أخيرًا) ، مما ينتج عنه:

6x² + 4x + 9x + 6

من هنا ، يمكننا جمع 4x و 9x لأنهما متشابهان. نعلم أن عواملنا صحيحة لأننا حصلنا على المعادلة الأصلية:

6x² + 13 س + 6

الطريقة 1 من 6: التجربة والخطأ

إذا كان لديك كثير حدود بسيط إلى حد ما ، فقد تتمكن من إيجاد العوامل بنفسك بمجرد النظر إليها. على سبيل المثال ، بعد التمرين ، يمكن للعديد من علماء الرياضيات معرفة أن المعادلة 4x² + 4x + 1 له عامل (2x + 1) و (2x + 1) بمجرد النظر إليه كثيرًا. (هذا بالطبع لن يكون سهلاً مع كثيرات الحدود الأكثر تعقيدًا). في هذا المثال ، دعنا نستخدم معادلة أقل استخدامًا:

3x² + 2 س - 8

الخطوة 1. اكتب قائمة عوامل المصطلح a والمصطلح c

باستخدام صيغة معادلة الفأس² + bx + c = 0 ، حدد المصطلحين a و c واكتب العوامل التي يمتلكها كلا المصطلحين. لمدة 3 أضعاف² + 2x - 8 ، وهذا يعني:

أ = 3 وله مجموعة من العوامل: 1 * 3

ج = -8 ولها أربع مجموعات من العوامل: -2 * 4 ، -4 * 2 ، -8 * 1 ، و -1 * 8.

الخطوة 2. اكتب مجموعتين من الأقواس مع مسافات فارغة

ستملأ الفراغات التي أنشأتها بالثوابت لكل معادلة:

(خ) (خ)

الخطوة 3. املأ الفراغات أمام x بالأزواج المحتملة من العوامل لقيمة a

للمصطلح a في مثالنا ، 3x²، هناك احتمال واحد فقط لمثالنا:

(3x) (1x)

الخطوة 4. املأ الفراغين بعد x بأزواج من العوامل للثابت

لنفترض أننا اخترنا 8 و 1. اكتب فيهما:

(3x

الخطوة 8.)(

الخطوة 1

الخطوة 5. حدد العلامة (زائد أو ناقص) بين المتغير x والرقم

اعتمادًا على العلامات الموجودة في المعادلة الأصلية ، قد يكون من الممكن البحث عن إشارات للثوابت. لنفترض أننا نسمي الثابتين h و k للعاملين:

إذا الفأس² + bx + c ثم (x + h) (x + k)

إذا الفأس² - bx - c أو ax² + bx - c ثم (x - h) (x + k)

إذا الفأس² - bx + c ثم (x - h) (x - k)

على سبيل المثال لدينا ، 3x² + 2x - 8 ، العلامات هي: (x - h) (x + k) ، مما يعطينا عاملين:

(3x + 8) و (x - 1)

الخطوة 6. اختبر اختياراتك باستخدام عملية الضرب أولاً في الأخير (PLDT)

الاختبار السريع الأول هو معرفة ما إذا كان الحد الأوسط يحتوي على القيمة الصحيحة على الأقل. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فربما تكون قد اخترت عوامل c الخاطئة. دعونا نختبر إجابتنا:

(3 × + 8) (× - 1)

بالضرب نحصل على:

3x² - 3 س + 8 س - 8

بتبسيط هذه المعادلة بإضافة الحدود المتشابهة (-3x) و (8x) ، نحصل على:

3x² - 3 س + 8 س - 8 = 3 س² + 5 س - 8

نحن نعلم الآن أننا يجب أن نكون قد استخدمنا العوامل الخاطئة:

3x² + 5 س - 8 3 س² + 2 س - 8

الخطوة 7. قم بتغيير اختيارك إذا لزم الأمر

في مثالنا ، لنجرب 2 و 4 بدلاً من 1 و 8:

(3x + 2) (x - 4)

الآن المصطلح c هو -8 ، لكن منتجنا الخارجي / الداخلي (3x * -4) و (2 * x) هو -12x و 2x ، والذي لن ينتج عنه المصطلح الصحيح b + 2x.

-12 س + 2 س = 10 س

10x 2x

الخطوة 8. اعكس الترتيب إذا لزم الأمر

لنحاول تبديل 2 و 4:

(3x + 4) (x - 2)

الآن ، حدنا c (4 * 2 = 8) صحيح ، لكن حاصل الضرب الخارجي / الداخلي هو -6x و 4x. إذا قمنا بدمجها:

-6 س + 4 س = 2 س

2x -2x نحن قريبون جدًا من 2x الذي نبحث عنه ، لكن الإشارة خاطئة.

الخطوة 9. تحقق جيدًا من العلامات الخاصة بك إذا لزم الأمر

سنستخدم نفس الترتيب ، لكن سنبادل المعادلات التي لها علامة الطرح:

(3x - 4) (x + 2)

الآن المصطلح c لا يمثل مشكلة ، والمنتج الخارجي / الداخلي الحالي هو (6x) و (-4x). لأن:

6 س - 4 س = 2 س

2x = 2x الآن يمكننا استخدام موجب 2x من المشكلة الأصلية. يجب أن تكون هذه العوامل الصحيحة.

طريقة 2 من 6: التحلل

ستحدد هذه الطريقة جميع العوامل المحتملة للمصطلحين a و c وتستخدمهما للعثور على العوامل الصحيحة. إذا كانت الأرقام كبيرة جدًا أو بدا التخمين مستهلكًا للوقت ، فاستخدم هذه الطريقة. دعنا نستخدم مثالا:

6x² + 13 س + 6

الخطوة 1. اضرب المصطلح a في المصطلح c

في هذا المثال ، a هو 6 و c هو أيضًا 6.

6 * 6 = 36

الخطوة 2. احصل على المصطلح "ب" عن طريق التحليل والاختبار

نحن نبحث عن رقمين يمثلان عاملين في المنتج a * c الذي حددناه ويضافان أيضًا إلى المصطلح b (13).

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

الخطوة 3. استبدل العددين اللذين تحصل عليهما في المعادلة نتيجة إضافة الحد b

دعنا نستخدم k و h لتمثيل العددين اللذين لدينا ، 4 و 9:

فأس² + kx + hx + c

6x² + 4x + 9x + 6

الخطوة 4. حلل كثير الحدود إلى عوامل بالتجميع

رتب المعادلات بحيث يمكنك أن تأخذ العامل المشترك الأكبر للحدين الأول والثاني. يجب أن تكون مجموعة العوامل هي نفسها. أضف العامل المشترك الأكبر وضعه بين قوسين بجوار مجموعة العوامل ؛ النتيجة هي عاملك:

6x² + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

طريقة 3 من 6: اللعب الثلاثي

على غرار طريقة التحلل ، تقوم طريقة اللعب الثلاثي بفحص العوامل المحتملة لضرب المصطلحين a و c واستخدام قيمة b. جرب استخدام هذا المثال المعادلة:

8x² + 10x + 2

الخطوة 1. اضرب المصطلح a في المصطلح c

مثل طريقة التحليل ، سيساعدنا هذا في تحديد المرشحين للفصل ب. في هذا المثال ، a تساوي 8 و c تساوي 2.

8 * 2 = 16

الخطوة الثانية: أوجد رقمين ، عند ضربهما بأرقام ، ينتج هذا الرقم بمجموع إجمالي يساوي المصطلح ب

هذه الخطوة هي نفسها مثل التحليل - نحن نختبر ونتجاهل العناصر المرشحة للثابت. حاصل ضرب الحدين a و c هو 16 ، والمصطلح c هو 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

الخطوة الثالثة. خذ هذين الرقمين واختبرهما عن طريق توصيلهما بصيغة اللعب الثلاثي

خذ العددين من الخطوة السابقة - دعنا نسميهما h و k - وقم بالتعويض عنهما في المعادلة:

((فأس + ح) (فأس + ك)) / أ

سوف نحصل على:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

الخطوة 4. لاحظ ما إذا كان أي من المصطلحين الموجودين في البسط يقبل القسمة على a

في هذا المثال ، رأينا ما إذا كانت (8x + 8) أو (8x + 2) قابلة للقسمة على 8. (8x + 8) قابلة للقسمة على 8 ، لذلك سنقسم هذا الحد على a ونترك العوامل الأخرى وحدها.

(8 س + 8) = 8 (س + 1)

الحد الموجود بين قوسين هنا هو ما تبقى بعد القسمة على المصطلح a.

الخطوة 5. خذ العامل المشترك الأكبر (GCF) لأحد المصطلحين أو كلاهما ، إن وجد

في هذا المثال ، الحد الثاني لديه العامل المشترك الأكبر 2 ، لأن 8x + 2 = 2 (4x + 1). اجمع هذه النتيجة مع المصطلح الذي حصلت عليه من الخطوة السابقة. هذه هي العوامل في المعادلة الخاصة بك.

2 (x + 1) (4x + 1)

طريقة 4 من 6: اختلاف الجذور التربيعية

يمكن أن تكون بعض المعاملات في كثيرات الحدود "مربعات" ، أو حاصل ضرب عددين. يتيح لك تحديد هذه المربعات تحليل العديد من كثيرات الحدود بسرعة أكبر. جرب هذه المعادلة:

27 ضعفًا² - 12 = 0

الخطوة الأولى. أخرج أكبر عامل مشترك إن أمكن

في هذه الحالة ، يمكننا أن نرى أن 27 و 12 يقبلان القسمة على 3 ، لذلك نحصل على:

27 ضعفًا² - 12 = 3 (9x² - 4)

الخطوة الثانية: حدد ما إذا كانت معاملات المعادلة هي أرقام مربعة

لاستخدام هذه الطريقة ، يجب أن تكون قادرًا على حساب الجذر التربيعي لكلا المصطلحين. (لاحظ أننا سنتجاهل العلامة السالبة - لأن هذه الأرقام مربعة يمكن أن تكون حاصل ضرب رقمين موجبين أو سالبين)

9x² = 3x * 3x و 4 = 2 * 2

الخطوة 3. باستخدام الجذر التربيعي الذي حصلت عليه ، اكتب العوامل

سنأخذ قيمتي a و c من الخطوة أعلاه - a = 9 و c = 4 ، ثم نجد الجذر التربيعي - a = 3 و c = 2. النتيجة هي معامل معادلة العامل:

27 ضعفًا² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3 س + 2) (3 س - 2)

طريقة 5 من 6: الصيغة التربيعية

إذا فشل كل شيء آخر وتعذر تحليل المعادلة بالكامل ، استخدم الصيغة التربيعية. جرب هذا المثال:

x² + 4x + 1 = 0

الخطوة 1. أدخل القيم المطلوبة في الصيغة التربيعية:

س = -ب ± (ب² - 4ac)

2 أ

نحصل على المعادلة:

س = -4 ± (4² - 4•1•1) / 2

الخطوة 2. أوجد قيمة x

سوف تحصل على قيمتين. كما هو موضح أعلاه ، حصلنا على إجابتين:

س = -2 + (3) أو س = -2 - (3)

الخطوة 3. استخدم قيمة x لإيجاد العوامل

عوّض بقيم x التي حصلت عليها في المعادلتين كثيرتي الحدود في صورة ثوابت. النتيجة هي العوامل الخاصة بك. إذا أطلقنا على إجابتنا h و k ، فسنكتب العاملين على النحو التالي:

(س - ح) (س - ك)

في هذا المثال ، إجابتنا النهائية هي:

(س - (-2 + (3)) (س - (-2 - (3)) = (س + 2 - (3)) (س + 2 + (3))

طريقة 6 من 6: استخدام الآلة الحاسبة

إذا كان مسموحًا لك باستخدام آلة حاسبة ، فإن حاسبة الرسوم البيانية تجعل عملية العوملة أسهل كثيرًا ، خاصةً بالنسبة للاختبارات الموحدة. هذه التعليمات خاصة بآلة حاسبة الرسم البياني TI. سنستخدم مثال معادلة:

ص = س² × 2

الخطوة 1. أدخل المعادلة في الآلة الحاسبة

ستستخدم تحليل المعادلة المكتوبة [Y =] على الشاشة.

الخطوة 2. ارسم معادلتك باستخدام الآلة الحاسبة

بعد إدخال المعادلة ، اضغط على [GRAPH] - سترى منحنىًا سلسًا يمثل معادلتك (والشكل عبارة عن منحنى لأننا نستخدم كثيرات الحدود).

الخطوة 3. ابحث عن المكان الذي يتقاطع فيه المنحنى مع المحور x

نظرًا لأن المعادلات متعددة الحدود تُكتب عادةً على شكل فأس² + bx + c = 0 ، هذا التقاطع هو القيمة الثانية لـ x التي تجعل المعادلة صفرًا:

(-1, 0), (2, 0)

س = -1 ، س = 2

إذا لم تتمكن من تحديد مكان تقاطع الرسم البياني مع المحور x من خلال النظر إليه ، فاضغط على [2nd] ثم [TRACE]. اضغط [2] أو حدد صفر. حرك المؤشر إلى يسار التقاطع واضغط على [ENTER]. حرك المؤشر إلى يمين التقاطع واضغط على [ENTER]. حرك المؤشر بالقرب من التقاطع قدر الإمكان واضغط على [ENTER]. سوف تجد الآلة الحاسبة قيمة x. افعل ذلك مع التقاطعات الأخرى أيضًا

الخطوة 4. عوض بقيمة x التي تم الحصول عليها من الخطوة السابقة في المعادلة العددية

إذا قمنا بتسمية كل من قيمتي x h و k ، فإن المعادلات التي سنستخدمها ستكون:

(س - ح) (س - ك) = 0

وبالتالي ، فإن العاملين لدينا هما:

(س - (-1)) (س - 2) = (س + 1) (س - 2)

نصائح

• إذا كان لديك آلة حاسبة TI-84 (رسم بياني) ، فهناك برنامج يسمى SOLVER سيحل معادلاتك التربيعية. سيحل هذا البرنامج كثيرات الحدود من أي درجة.
• إذا لم يتم كتابة المصطلح ، يكون المعامل 0. من المفيد إعادة كتابة المعادلة إذا كانت هذه هي الحالة ، على سبيل المثال: x² + 6 = س² + 0 x + 6.
• إذا قمت بتحليل كثير الحدود إلى عوامل باستخدام صيغة تربيعية وحصلت على الإجابة من حيث الجذور ، فقد ترغب في تحويل قيمة x إلى كسر للتحقق منه.
• إذا لم يكن للمصطلح معامل مكتوب ، فإن المعامل هو 1 ، على سبيل المثال: x² = 1x².
• بعد ممارسة كافية ، ستتمكن في النهاية من تحليل كثيرات الحدود في رأسك. حتى تتمكن من القيام بذلك ، تأكد دائمًا من كتابة الكيفية.