المسافة ، غالبًا ما تُعطى للمتغير "s" ، هي قياس للمساحة التي هي عبارة عن خط مستقيم بين نقطتين. يمكن أن تشير المسافة إلى المسافة بين نقطتين غير متحركتين (على سبيل المثال ، ارتفاع الشخص هو المسافة من أسفل القدمين إلى أعلى الرأس) أو يمكن أن تشير إلى المسافة بين الموضع الحالي لجسم متحرك و الموقع الأولي حيث بدأ الكائن في التحرك. يمكن حل معظم مشاكل المسافات بالمعادلة ق = ت × ر ، حيث s هي المسافة ، و v متوسط السرعة ، و t هو الوقت أو الاستخدام ق = ((س2 - س1)2 + (ذ2 - ذ1)2) حيث (x1، ذ1) و (x2، ذ2) هما إحداثيات x و y للنقطتين.
خطوة
طريقة 1 من 2: حساب المسافة بمتوسط السرعة والوقت
الخطوة 1. أوجد متوسط السرعة وقيم الوقت
عند محاولة حساب المسافة التي قطعها جسم متحرك ، توجد معلومتان مهمتان في هذا الحساب: سرعة (أو السرعة) و زمن أن الجسم المتحرك قد سافر. باستخدام هذه المعلومات ، من الممكن حساب المسافة التي يقطعها الجسم باستخدام الصيغة s = v × t.
لفهم عملية استخدام صيغة المسافة بشكل أفضل ، دعنا نحل مثالاً لمشكلة في هذا القسم. لنفترض أننا نسير على طريق بسرعة 120 ميلًا في الساعة (حوالي 193 كيلومترًا في الساعة) ونريد أن نعرف إلى أي مدى سنقطعها في نصف ساعة. يستخدم 120 ميلا في الساعة كقيمة متوسط السرعة و 0.5 ساعة كقيمة للوقت ، سنحل هذه المشكلة في الخطوة التالية.
الخطوة 2. اضرب متوسط السرعة في الوقت
بعد معرفة متوسط سرعة جسم متحرك والوقت الذي قطعه ، يكون حساب المسافة المقطوعة أمرًا سهلاً نسبيًا. فقط اضرب القيمتين لإيجاد الإجابة.
- ومع ذلك ، لاحظ أنه إذا كانت الوحدة الزمنية المستخدمة في قيمة متوسط السرعة مختلفة عن تلك المستخدمة في قيمة الوقت ، فستحتاج إلى تغيير واحدة لتتطابق. على سبيل المثال ، إذا كان لدينا متوسط قيمة سرعة مُقاسة بالكيلومتر في الساعة وقيمة زمنية مُقاسة بالدقائق ، فستحتاج إلى قسمة القيمة الزمنية على 60 لتحويلها إلى ساعات.
- لننهي مشكلة المثال. 120 ميل / ساعة × 0.5 ساعة = 60 ميلا. لاحظ أن الوحدات في القيمة الزمنية (ساعات) تغفل مقام متوسط السرعة (ساعات) تاركة فقط وحدات المسافة (بالأميال).
الخطوة 3. قم بتغيير المعادلة لحساب متغير آخر
إن بساطة معادلة المسافة الأساسية (s = v × t) تجعل من السهل استخدام المعادلة للعثور على قيمة متغير غير المسافة. ما عليك سوى عزل المتغير الذي تريد إيجاده وفقًا لقواعد الجبر الأساسية ، ثم إدخال قيم المتغيرين الآخرين للعثور على قيمة المتغير الثالث. بمعنى آخر ، لحساب السرعة المتوسطة للجسم ، استخدم المعادلة ت = ق / ر ولحساب الوقت المنقضي بواسطة الكائن ، استخدم المعادلة ر = ق / الخامس.
- على سبيل المثال ، لنفترض أننا نعلم أن السيارة قطعت 60 ميلاً في 50 دقيقة ، لكن ليس لدينا قيمة لمتوسط السرعة لأن الجسم يتحرك. في هذه الحالة ، يمكننا عزل المتغير v في معادلة المسافة الأساسية للحصول على v = d / t ، ثم قسمة 60 ميلاً / 50 دقيقة فقط للحصول على الإجابة 1.2 ميل / دقيقة.
- لاحظ أنه في المثال ، تحتوي الإجابة عن السرعة على وحدة غير عادية (ميل / دقيقة). للحصول على إجابة بالأميال / الساعة الأكثر شيوعًا ، اضرب في 60 دقيقة / ساعة للحصول على النتيجة 72 ميل / ساعة.
الخطوة 4. لاحظ أن المتغير "v" في صيغة المسافة يشير إلى السرعة المتوسطة
من المهم أن نفهم أن صيغة المسافة الأساسية تقدم عرضًا مبسطًا لحركة جسم ما. تفترض صيغة المسافة أن الجسم المتحرك له سرعة ثابتة - وبعبارة أخرى ، فإنه يفترض أن الجسم المتحرك له سرعة واحدة غير متغيرة. بالنسبة لمشاكل الرياضيات المجردة ، مثل تلك التي قد تواجهها في بيئة أكاديمية ، لا يزال من الممكن أحيانًا تصميم حركة كائن باستخدام هذا الافتراض. ومع ذلك ، في الحياة الواقعية ، لا تعكس هذه الأمثلة في كثير من الأحيان بدقة حركة الأجسام المتحركة ، والتي في الواقع يمكن أن تتسارع وتبطئ وتتوقف وتعكس بمرور الوقت.
- على سبيل المثال ، في المثال أعلاه ، خلصنا إلى أنه لقطع 60 ميلاً في 50 دقيقة ، سنحتاج إلى السفر بسرعة 72 ميلاً في الساعة. ومع ذلك ، هذا صحيح فقط إذا كنت تسافر بسرعة واحدة طوال الرحلة بأكملها. على سبيل المثال ، بالسفر بسرعة 80 ميلاً / ساعة لنصف الرحلة و 64 ميلاً / ساعة للنصف المتبقي ، سنظل نغطي 60 ميلاً في 50 دقيقة - 72 ميلاً / ساعة = 60 ميلاً / 50 دقيقة = ؟؟؟؟؟
- غالبًا ما تكون الحلول المعتمدة على التفاضل والتكامل والتي تستخدم المشتقات خيارًا أفضل من معادلات المسافة لتحديد سرعة كائن في المواقف الحقيقية لأن التغييرات في السرعة ممكنة.
الطريقة 2 من 2: حساب المسافة بين نقطتين
الخطوة 1. أوجد الإحداثيين المكانيين للنقطتين
ماذا لو ، بدلاً من حساب المسافة التي قطعها جسم متحرك ، تحتاج إلى حساب المسافة بين جسمين غير متحركين؟ في مثل هذه الحالة ، لن تعمل صيغة المسافة المبنية على السرعة الموضحة أعلاه. لحسن الحظ ، يمكن استخدام صيغ المسافة المختلفة لحساب مسافة الخط المستقيم بين نقطتين بسهولة. ومع ذلك ، لاستخدام هذه الصيغة ، ستحتاج إلى معرفة إحداثيات النقطتين. في حالة التعامل مع مسافات أحادية البعد (كما هو الحال في خط الأرقام) ، ستتكون الإحداثيات من رقمين ، x1 و x2. إذا كنت تتعامل مع مسافات في بعدين ، فستحتاج إلى قيمتين (س ، ص) ، (س1، ذ1) و (x2، ذ2). أخيرًا ، بالنسبة للأبعاد الثلاثة ، ستحتاج إلى القيمة (x1، ذ1، ض1) و (x2، ذ2، ض2).
الخطوة 2. احسب المسافة أحادية البعد بطرح قيم إحداثيات نقطتين
من السهل حساب المسافة أحادية البعد بين نقطتين عندما تعرف بالفعل قيمة كل نقطة. فقط استخدم الصيغة ق = | س2 - س1|. في هذه الصيغة ، ستطرح x1 من x2، ثم خذ القيمة المطلقة لإجابتك لإيجاد المسافة بين x1 و x2. عادة ، سترغب في استخدام صيغة المسافة أحادية البعد عندما تكون النقطتان على خط أو محور رقم.
- لاحظ أن هذه الصيغة تستخدم قيمًا مطلقة (الرمز " | |"). القيمة المطلقة تعني فقط أن القيمة داخل الرمز تصبح موجبة إذا كانت سالبة.
-
على سبيل المثال ، لنفترض أننا توقفنا عند جانب الطريق على طريق سريع مستقيم تمامًا. إذا كانت هناك مدينة أمامنا على بعد 5 أميال ومدينة أخرى على بعد ميل واحد خلفنا ، فما بعد المدينتين؟ إذا وضعنا المدينة 1 كـ x1 = 5 والمدينة 2 كـ x1 = -1 يمكننا حساب المسافة بين المدينتين بالطريقة التالية:
- ق = | س2 - س1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 أميال.
الخطوة 3. احسب المسافة ثنائية الأبعاد باستخدام نظرية فيثاغورس
يعد حساب المسافة بين نقطتين في الفضاء ثنائي الأبعاد أكثر تعقيدًا منه في البعد الواحد ، ولكنه ليس صعبًا. فقط استخدم الصيغة ق = ((س2 - س1)2 + (ذ2 - ذ1)2). في هذه الصيغة ، اطرح إحداثيات x ، واحسب الجذر التربيعي ، واطرح إحداثيات y ، واحسب الجذر التربيعي ، ثم اجمع النتيجتين معًا واحسب الجذر التربيعي لإيجاد المسافة بين النقطتين. تنطبق هذه الصيغة على مستوى ثنائي الأبعاد - على سبيل المثال ، على الرسم البياني العادي x / y.
- تستخدم صيغة المسافة ثنائية الأبعاد نظرية فيثاغورس ، التي تنص على أن طول وتر المثلث الموجود على اليمين يساوي الجذر التربيعي للمربع في الضلعين الآخرين.
- على سبيل المثال ، لنفترض أن لدينا نقطتين في المستوى x-y: (3 ، -10) و (11 ، 7) ، تمثلان مركز الدائرة ونقطة على الدائرة ، على التوالي. لإيجاد مسافة الخط المستقيم بين نقطتين ، يمكننا حسابه بالطريقة التالية:
- ق = ((س2 - س1)2 + (ذ2 - ذ1)2)
- ق = ((11-3)2 + (7 - -10)2)
- ق = (64 + 289)
- ق = (353) = 18, 79
الخطوة 4. احسب المسافة ثلاثية الأبعاد عن طريق تغيير صيغة المسافة ثنائية الأبعاد
في الأبعاد الثلاثة ، تحتوي النقاط على إحداثيات z بالإضافة إلى إحداثيات x و y. لحساب المسافة بين نقطتين في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، استخدم ق = ((س2 - س1)2 + (ذ2 - ذ1)2 + (ض2 - ض1)2). هذا شكل معدل لصيغة المسافة ثنائية الأبعاد الموصوفة أعلاه والتي تتضمن إحداثي ع. يضمن طرح الإحداثيين z وحساب الجذر التربيعي والاستمرار في باقي الصيغة أن إجابتك النهائية ستمثل المسافة ثلاثية الأبعاد بين النقطتين.
- على سبيل المثال ، لنفترض أننا رواد فضاء نطير في الفضاء بين كويكبين. يقع أحد الكويكبات على بعد حوالي 8 كيلومترات ، و 2 كيلومتر إلى اليمين ، و 5 كيلومترات أسفلنا ، بينما يقع الآخر على بعد حوالي 3 كيلومترات ، و 3 كيلومترات إلى اليسار ، و 4 كيلومترات فوقنا. إذا قمنا بتمثيل مواقع الكويكبات بالإحداثيات (8 ، 2 ، -5) و (-3 ، -3 ، 4) ، فيمكننا حساب المسافة بينهما بالطريقة التالية:
- ق = ((-3-8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- ق = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- ق = (121 + 25 + 81)
- ق = (227) = 15 ، 07 كم
