كيفية البحث عن المجال ومجموعة الوظائف: 14 خطوة (بالصور)

2024 مؤلف: Jason Gerald | [email protected]. آخر تعديل: 2023-12-16 10:53

كل دالة لها متغيرين ، وهما المتغير المستقل والمتغير التابع. حرفيا قيمة المتغير التابع "يعتمد" على المتغير المستقل. على سبيل المثال ، في الدالة y = f (x) = 2 x + y ، x هي المتغير المستقل و y هي المتغير التابع (بمعنى آخر ، y دالة في x). تسمى القيم الصالحة للمتغير x المعروف "مجالات الأصل". تسمى القيم الصالحة لمتغير y المعروف "نطاق النتائج".

خطوة

جزء 1 من 3: إيجاد مجال الوظيفة

الخطوة 1. حدد نوع الوظيفة التي ستقوم بأدائها

مجال الوظيفة هو جميع قيم x (المحور الأفقي) التي ستُرجع قيم y الصالحة. قد تكون معادلة الدالة تربيعية أو كسرًا أو تحتوي على جذر. لحساب مجال الوظيفة ، فإن أول شيء عليك القيام به هو فحص المتغيرات في المعادلة.

الدالة التربيعية لها شكل الفأس² + bx + c: f (x) = 2x² + 3 س + 4
تتضمن أمثلة الوظائف ذات الكسور: f (x) = (¹/_x) ، و (س) = ^{(x + 1)}/_{(× - 1)}، و اخرين.
الوظائف التي لها جذور تشمل: f (x) = x، f (x) = (x² + 1) ، f (x) = -x ، وهكذا.

الخطوة الثانية. اكتب المجال بالتدوين الصحيح

تتضمن كتابة مجال الوظيفة استخدام الأقواس المربعة [،] وكذلك الأقواس (،). استخدم الأقواس المربعة [،] إذا كان الرقم ينتمي إلى المجال واستخدم الأقواس (،) إذا كان المجال لا يتضمن الرقم. يشير الحرف U إلى الاتحاد الذي يربط أجزاء من المجال يمكن فصلها بمسافة.

على سبيل المثال ، مجال [-2 ، 10) U (10 ، 2] يتضمن -2 و 2 ، لكنه لا يشمل الرقم 10.
استخدم دائمًا الأقواس () إذا كنت تستخدم رمز اللانهاية ،.

الخطوة 3. ارسم رسمًا بيانيًا للمعادلة التربيعية

تنتج المعادلات التربيعية رسمًا بيانيًا مكافئًا يفتح لأعلى أو لأسفل. بالنظر إلى أن القطع المكافئ سيستمر إلى ما لا نهاية على المحور السيني ، فإن مجال معظم المعادلات التربيعية هو جميع الأعداد الحقيقية. بعبارة أخرى ، تتضمن المعادلة التربيعية جميع قيم x على خط الأعداد ، مع إعطاء المجال ص (رمز لجميع الأعداد الحقيقية).

لحل الدالة ، اختر أي قيمة x وأدخلها في الدالة. سيؤدي حل دالة بقيمة x إلى إرجاع قيمة y. قيمتي x و y هما إحداثيات (x، y) لرسم بياني للدالة.
ارسم هذه الإحداثيات على رسم بياني وكرر العملية بقيمة س أخرى.
سيعطيك رسم بعض القيم في هذا النموذج نظرة عامة على شكل الدالة التربيعية.

الخطوة 4. إذا كانت معادلة الدالة كسرًا ، اجعل المقام مساويًا للصفر

عند التعامل مع الكسور ، لا يمكنك أبدًا القسمة على صفر. بجعل المقام يساوي صفرًا وإيجاد قيمة x ، يمكنك حساب القيم لاستخراجها من الدالة.

على سبيل المثال: حدد مجال الوظيفة f (x) = ^{(x + 1)}/_{(× - 1)}.
مقام الوظيفة هو (x - 1).
اجعل المقام يساوي صفرًا واحسب قيمة x: x - 1 = 0 ، x = 1.
اكتب المجال: لا يشمل مجال الوظيفة 1 ، ولكنه يشمل جميع الأرقام الحقيقية باستثناء 1 ؛ لذلك ، المجال هو (-، 1) U (1،).
يمكن قراءة (-∞، 1) U (1،) على أنها مجموعة من جميع الأعداد الحقيقية باستثناء 1. رمز اللانهاية يمثل جميع الأعداد الحقيقية. في هذه الحالة ، يتم تضمين جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من 1 وأقل من 1 في المجال.

الخطوة 5. إذا كانت المعادلة دالة جذر ، اجعل المتغيرات الجذرية أكبر من أو تساوي الصفر

لا يمكنك استخدام الجذر التربيعي لرقم سالب ؛ لذلك ، يجب إزالة أي قيمة x تؤدي إلى رقم سالب من مجال الوظيفة.

على سبيل المثال: أوجد مجال الوظيفة f (x) = (x + 3).
المتغيرات في الجذر هي (x + 3).
اجعل القيمة أكبر من أو تساوي الصفر: (x + 3) 0.
احسب قيمة x: x -3. حل من أجل x: x -3.
يشمل مجال الوظيفة جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي -3 ؛ لذلك ، المجال هو [-3 ،).

جزء 2 من 3: إيجاد مدى معادلة من الدرجة الثانية

الخطوة الأولى: تأكد من أن لديك دالة تربيعية

الوظيفة التربيعية لها شكل الفأس² + bx + c: f (x) = 2x² + 3x + 4. الرسم البياني للدالة التربيعية هو قطع مكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل. هناك طرق مختلفة لحساب نطاق الوظيفة حسب نوع الوظيفة التي تعمل عليها.

أسهل طريقة لتحديد نطاق الوظائف الأخرى ، مثل دالة الجذر أو دالة الكسر ، هي رسم الدالة باستخدام آلة حاسبة بيانية

الخطوة 2. أوجد قيمة x لرأس الدالة

رأس الدالة التربيعية هو رأس القطع المكافئ. تذكر أن شكل الدالة التربيعية هو ax² + ب س + ج. لإيجاد الإحداثي x ، استخدم المعادلة x = -b / 2a. المعادلة مشتقة من دالة تربيعية أساسية تمثل معادلة ذات ميل / ميل صفري (عند رأس الرسم البياني ، يكون انحدار الدالة هو صفر).

على سبيل المثال ، أوجد النطاق 3x² + 6 س -2.
احسب إحداثي x للرأس: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1

الخطوة 3. احسب قيمة y لرأس الدالة

عوّض عن الإحداثي x في الدالة لحساب قيمة y المقابلة للرأس. تشير قيمة y هذه إلى حد نطاق الوظيفة.

احسب إحداثي y: y = 3x² + 6 س - 2 = 3 (-1)² + 6(-1) -2 = -5.
رأس هذه الوظيفة هو (-1 ، -5).

الخطوة 4. حدد اتجاه القطع المكافئ عن طريق توصيل قيمة x إضافية واحدة على الأقل

اختر أي قيمة س أخرى وعوض بها في الدالة لحساب قيمة y المناسبة. إذا كانت قيمة y أعلى الرأس ، يستمر القطع المكافئ عند + ∞. إذا كانت قيمة y أقل من الرأس ، فسيستمر القطع المكافئ حتى-.

استخدم قيمة x -2: y = 3x² + 6 س - 2 = ص = 3 (-2)² + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
تُرجع هذه العملية الحسابية الإحداثيات (-2 ، -2).
توضح لك هذه الإحداثيات أن القطع المكافئ يستمر فوق الرأس (-1 ، -5) ؛ لذلك ، يتضمن النطاق كافة قيم y الأعلى من -5.
نطاق هذه الوظيفة هو [-5،).

الخطوة 5. اكتب النطاق بالترميز الصحيح

مثل المجالات ، تتم كتابة النطاقات بنفس الترميز. استخدم الأقواس المربعة [،] إذا كان الرقم في النطاق واستخدم الأقواس (،) إذا كان النطاق لا يتضمن الرقم. يشير الحرف U إلى اتحاد يربط أجزاء من النطاق يمكن فصلها بمسافة.

على سبيل المثال ، نطاق [-2 ، 10) U (10 ، 2] يتضمن -2 و 2 ، لكنه لا يشمل الرقم 10.
استخدم دائمًا الأقواس إذا كنت تستخدم رمز اللانهاية ،.

جزء 3 من 3: إيجاد المدى من الرسم البياني للدالة

الخطوة 1. ارسم الوظيفة

غالبًا ما تكون أسهل طريقة لتحديد نطاق الدالة هي رسمها بيانيًا. العديد من دوال الجذر لها نطاق (-، 0] أو [0 ، +) لأن رأس القطع المكافئ الأفقي (القطع المكافئ الجانبي) يقع على المحور x الأفقي. في هذه الحالة ، تتضمن الوظيفة جميع قيم y الموجبة إذا تم فتح القطع المكافئ ، أو جميع قيم y السالبة إذا فتح القطع المكافئ لأسفل. سيكون للوظائف الكسرية خطوط مقاربة (الخطوط التي لا يتم قطعها أبدًا بخط مستقيم / منحنى ولكنها تقترب من اللانهاية) التي تحدد نطاق الوظيفة.

ستبدأ بعض وظائف الجذر أعلى أو أسفل المحور x. في هذه الحالة ، يتم تحديد النطاق بالرقم الذي تبدأ منه الدالة الجذر. إذا بدأ القطع المكافئ عند y = -4 ثم صعد ، فإن النطاق يكون [-4، + ∞).
أسهل طريقة لرسم دالة هي استخدام برنامج رسم بياني أو حاسبة رسوم بيانية.
إذا لم يكن لديك آلة حاسبة للرسم البياني ، فيمكنك رسم مخطط تقريبي للرسم البياني عن طريق توصيل قيمة x بالدالة والحصول على قيمة y المناسبة. ارسم هذه الإحداثيات على رسم بياني لتكوين فكرة عما يبدو عليه الرسم البياني.

الخطوة 2. أوجد القيمة الدنيا للدالة

بعد رسم الوظيفة مباشرة ، يجب أن تكون قادرًا على رؤية أدنى نقطة في الرسم البياني بوضوح. إذا لم يكن هناك قيمة دنيا واضحة ، فاعلم أن بعض الوظائف ستستمر عند-(ما لا نهاية).