في حساب التفاضل والتكامل ، عندما يكون لديك معادلة لـ y مكتوبة بالصيغة x (على سبيل المثال ، y = x2 -3x) ، فمن السهل استخدام تقنيات الاشتقاق الأساسية (التي يشير إليها علماء الرياضيات باسم تقنيات مشتقة دالة ضمنية) للعثور على المشتق. ومع ذلك ، بالنسبة للمعادلات التي يصعب تكوينها باستخدام المصطلح y فقط على جانب واحد من علامة التساوي (على سبيل المثال ، x2 + ص2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19) ، هناك حاجة إلى نهج مختلف. باستخدام تقنية تسمى مشتقات الوظيفة الضمنية ، من السهل العثور على مشتقات المعادلات متعددة المتغيرات طالما أنك تعرف أساسيات مشتقات الوظيفة الصريحة!
خطوة
طريقة 1 من 2: اشتقاق معادلات بسيطة بسرعة
الخطوة 1. اشتق مصطلحات x كالمعتاد
عند محاولة اشتقاق معادلة متعددة المتغيرات مثل x2 + ص2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19 ، قد يكون من الصعب معرفة من أين تبدأ. لحسن الحظ ، فإن الخطوة الأولى في اشتقاق التابع الضمني هي الأسهل. ما عليك سوى اشتقاق حدود x والثوابت على طرفي المعادلة وفقًا لقواعد المشتقات العادية (الصريحة) لتبدأ. تجاهل شروط ص في الوقت الحاضر.
-
دعنا نحاول اشتقاق مثال على المعادلة البسيطة أعلاه. x2 + ص2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19 له حدان x: x2 و -5 x. إذا أردنا اشتقاق معادلة ، فعلينا فعل ذلك أولاً ، على النحو التالي:
-
- x2 + ص2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19
-
(نكتب إلى القوة 2 في x2 كمعامل ، قم بإزالة x في -5x ، وقم بتغيير 19 إلى 0)
- 2x + ص2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0
-
الخطوة 2. قم باشتقاق حدي y وأضف (dy / dx) بجوار كل مصطلح
لخطوتك التالية ، ما عليك سوى اشتقاق حدي y بنفس الطريقة التي اشتقت بها حدي x. لكن هذه المرة ، أضف (dy / dx) بجوار كل حد حيث ستضيف المعاملات. على سبيل المثال ، إذا خفضت قيمة y2، ثم يصبح المشتق 2y (dy / dx). تجاهل المصطلحات التي تحتوي على x و y في الوقت الحالي.
-
في مثالنا ، تبدو المعادلة الآن على النحو التالي: 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0. سنقوم بالخطوة التالية لاشتقاق y على النحو التالي:
-
- 2x + ص2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0
- (نلجأ إلى قوة 2 في y2 كمعامِلات ، أزل y في 8y ، وضع dy / dx بجوار كل حد).
-
2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy2= 0
-
الخطوة 3. استخدم قاعدة حاصل الضرب أو قاعدة خارج القسمة للمصطلحات التي تحتوي على x و y
يعد العمل مع المصطلحات التي تحتوي على x و y أمرًا صعبًا بعض الشيء ، ولكن إذا كنت تعرف قواعد حاصل الضرب وحاصل القسمة للمشتقات ، فستجد الأمر سهلاً. إذا تم ضرب المصطلحين x و y ، فاستخدم قاعدة حاصل الضرب ((f × g) '= f' × g + g × f ') ، واستبدال حد x بـ f والمصطلح y لـ g. من ناحية أخرى ، إذا كان المصطلحان x و y متنافيان ، فاستخدم قاعدة خارج القسمة ((f / g) '= (g × f' - g '× f) / g2) ، مع استبدال البسط لـ f والمقام بـ g.
-
في مثالنا ، 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy2 = 0 ، لدينا حد واحد فقط به x و y - 2xy2. نظرًا لأن x و y يضربان في بعضهما البعض ، فسنستخدم قاعدة الضرب في الاشتقاق على النحو التالي:
-
-
2xy2 = (2x) (ص2) - مجموعة 2x = f و y2 = g in (f × g) '= f' × g + g × f '
- (و × ز) '= (2 س)' × (ص2) + (2x) × (ص2)'
- (و × ز) '= (2) × (ص2) + (2x) × (2y (dy / dx))
- (و × ز) '= 2 س2 + 4xy (dy / DX)
-
-
- بإضافة هذا إلى معادلتنا الرئيسية ، نحصل على 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y2 + 4xy (dy / dx) = 0
الخطوة 4. وحده (dy / dx)
أنت على وشك الإنتهاء! الآن ، كل ما عليك فعله هو حل المعادلة (dy / dx). يبدو هذا صعبًا ، لكنه ليس كذلك في العادة - تذكر أن أي حدين أ و ب مضروبا في (dy / dx) يمكن كتابتهما (a + b) (dy / dx) بسبب خاصية التوزيع للضرب. هذا التكتيك يمكن أن يجعل العزل أسهل - ما عليك سوى تحريك جميع الحدود الأخرى على الجانب الآخر من الأقواس ، ثم قسمة الحدود بين الأقواس بجوار (dy / dx).
-
في مثالنا ، نبسط 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y2 + 4xy (dy / dx) = 0 كما يلي:
-
- 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y2 + 4xy (dy / dx) = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y2 = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y2 - 2x + 5
- (dy / dx) = (-2y2 - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)
- (dy / dx) = (-2y2 - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
-
طريقة 2 من 2: استخدام التقنيات المتقدمة
الخطوة 1. أدخل القيمة (x، y) لإيجاد (dy / dx) لأي نقطة
آمن! لقد اشتقت بالفعل معادلتك بشكل ضمني - ليست مهمة سهلة من المحاولة الأولى! استخدام هذه المعادلة لإيجاد التدرج اللوني (dy / dx) لأي نقطة (x، y) سهل مثل توصيل قيمتي x و y للنقطة بالجانب الأيمن من المعادلة ، ثم إيجاد (dy / dx).
-
على سبيل المثال ، افترض أننا نريد إيجاد التدرج اللوني عند النقطة (3 ، -4) لمعادلة المثال أعلاه. للقيام بذلك ، سنعوض بـ 3 عن x و -4 عن y ، ونحل كالتالي:
-
- (dy / dx) = (-2y2 - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
- (dy / dx) = (-2 (-4)2 - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)
- (dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))
- (dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))
- (dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))
- (dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48 ، أو 0, 6875.
-
الخطوة 2. استخدم قاعدة السلسلة للوظائف داخل الوظائف
قاعدة السلسلة هي جزء مهم من المعرفة يجب امتلاكه عند العمل على مسائل التفاضل والتكامل (بما في ذلك مسائل مشتقة الوظيفة الضمنية). تنص قاعدة السلسلة على أنه بالنسبة للدالة F (x) التي يمكن كتابتها كـ (f ا ز) (س) ، مشتق F (x) يساوي f '(g (x)) g' (x). بالنسبة للمسائل الصعبة المشتقة للدالة الضمنية ، فهذا يعني أنه من الممكن اشتقاق الأجزاء الفردية المختلفة من المعادلة ، ثم تجميع النتائج.
-
كمثال بسيط ، افترض أن علينا إيجاد مشتق الخطيئة (3x2 + x) كجزء من مسألة مشتقة الوظيفة الضمنية الأكبر للمعادلة sin (3x2 + س) + ص3 = 0. إذا تخيلنا الخطيئة (3x2 + x) مثل f (x) و 3 x2 + x في صورة g (x) ، يمكننا إيجاد المشتق كما يلي:
-
- f '(g (x)) g' (x)
- (الخطيئة (3x2 + س)) × (3 س2 + س)"
- كوس (3x2 + س) × (6 س + 1)
- (6x + 1) cos (3x2 + x)
-
الخطوة 3. بالنسبة للمعادلات ذات المتغيرات x و y و z ، أوجد (dz / dx) و (dz / dy)
على الرغم من أن بعض التطبيقات المتقدمة غير عادية في حساب التفاضل والتكامل الأساسي ، فقد تتطلب اشتقاق وظائف ضمنية لأكثر من متغيرين. لكل متغير إضافي ، يجب عليك إيجاد مشتقه الإضافي بالنسبة إلى x. على سبيل المثال ، إذا كان لديك x و y و z ، يجب أن تبحث عن كل من (dz / dy) و (dz / dx). يمكننا القيام بذلك عن طريق اشتقاق المعادلة بالنسبة إلى x مرتين - أولاً ، سندخل (dz / dx) في كل مرة نشتق فيها مصطلحًا يحتوي على z ، وثانيًا ، سنقوم بإدخال (dz / dy) في كل مرة نشتق فيها ض. بعد ذلك ، إنها مجرد مسألة حل (dz / dx) و (dz / dy).
- على سبيل المثال ، لنفترض أننا نحاول اشتقاق x3ض2 - 5xy5ض = س2 + ص3.
-
أولاً ، دعنا نشتق مقابل x وندخل (dz / dx). لا تنس تطبيق قاعدة المنتج إذا لزم الأمر!
-
- x3ض2 - 5xy5ض = س2 + ص3
- 3x2ض2 + 2x3ض (دز / دكس) - 5 ص5ض - 5xy5(dz / dx) = 2x
- 3x2ض2 + (2x3ض - 5xy5) (dz / dx) - 5y5ض = 2 س
- (2x3ض - 5xy5) (dz / dx) = 2x - 3x2ض2 + 5 سنوات5ض
- (dz / dx) = (2x - 3x2ض2 + 5 سنوات5ض) / (2x3ض - 5xy5)
-
-
الآن ، افعل الشيء نفسه مع (dz / dy)
-
- x3ض2 - 5xy5ض = س2 + ص3
- 2x3z (dz / dy) - 25xy4ض - 5xy5(دز / يوم) = 3 س2
- (2x3ض - 5xy5) (دز / يوم) = 3 س2 + 25 ص4ض
- (دز / يوم) = (3 س2 + 25 ص4ض) / (2x3ض - 5xy5)
-
