يعد إكمال المربعات تقنية مفيدة لمساعدتك على وضع المعادلات التربيعية في شكل أنيق ، مما يسهل رؤيتها أو حتى حلها. يمكنك إكمال المربعات لإنشاء صيغ تربيعية أكثر تعقيدًا أو حتى حل المعادلات التربيعية. إذا كنت تريد معرفة كيفية القيام بذلك ، فاتبع هذه الخطوات.
خطوة
جزء 1 من 2: تحويل المعادلات العادية إلى دوال تربيعية
الخطوة 1. اكتب المعادلة
لنفترض أنك تريد حل المعادلة التالية: 3x2 - 4x + 5.
الخطوة 2. أخرج معاملات المتغيرات التربيعية من الجزأين الأولين
للحصول على الرقم 3 من أول جزأين ، ما عليك سوى إخراج الرقم 3 ووضعه خارج القوسين ، قسمة كل جزء على 3. 3x2 على 3 هو x2 و 4x مقسومة على 3 تساوي 4 / 3x. إذن ، تصبح المعادلة الجديدة: 3 (x2 - 4 / 3x) + 5. يبقى الرقم 5 خارج المعادلة لأنه غير مقسوم على الرقم 3.
الخطوة 3. قسّم الجزء الثاني على 2 وربّعه
الجزء الثاني أو ما يعرف ب في المعادلة هو 4/3. اقسم على اثنين. 4/3 2 أو 4/3 × 1/2 يساوي 2/3. الآن ، قم بتربيع هذا القسم بتربيع بسط الكسر ومقامه. (2/3)2 = 4/9. اكتبه.
الخطوة 4. اجمع واطرح هذه الأجزاء من المعادلة
ستحتاج إلى هذا الجزء الإضافي لإعادة المعادلة إلى مربع كامل. ومع ذلك ، يجب عليك طرحها من باقي المعادلة لتجميعها. على الرغم من ذلك ، يبدو أنك ستعود إلى المعادلة الأصلية. تبدو معادلتك كما يلي: 3 (x2 - 4/3 × + 4/9 - 4/9) + 5.
الخطوة 5. قم بإزالة الجزء الذي طرحته من الأقواس
نظرًا لأن لديك معامل 3 خارج الأقواس ، فلا يمكنك إخراج -4/9 فقط. عليك أن تضربه في 3 أولاً. -4/9 × 3 = -12/9 أو -4/3. إذا كان لديك معامل 1 في قسم x2، ثم يمكنك تخطي هذه الخطوة.
الخطوة 6. قم بتغيير الجزء الموجود بين قوسين إلى مربع كامل
الآن ، هناك 3 (x2 -4 / 3x +4/9) بين قوسين. لقد حاولت بالفعل الحصول على 4/9 ، وهي طريقة أخرى لإكمال المربع. لذا يمكنك إعادة كتابته على النحو التالي: 3 (س - 2/3)2. كل ما عليك فعله هو تقسيم النصف الثاني وإزالة النصف الثالث. يمكنك التحقق من عملك بضربه وإخراج الأجزاء الثلاثة الأولى من المعادلة.
-
3 (× - 2/3)2 =
أكمل المربع الخطوة 6 - 3 (س - 2/3) (س -2/3) =
- 3 [(x2 -2 / 3x -2 / 3x + 4/9)]
- 3 (x2 - 4/3 س + 4/9)
الخطوة 7. اجمع الثوابت
يوجد الآن ثابتان أو رقمان ليس لهما متغيرات. الآن لديك 3 (x - 2/3)2 - 4/3 + 5. كل ما عليك فعله هو جمع -4/3 و 5 لتحصل على 11/3. يمكنك جمعها من خلال معادلة المقام: -4/3 و 15/3 ، ثم جمع الأعداد حتى تحصل على 11 واترك المقام 3.
-
-4/3 + 15/3 = 11/3.
أكمل المربع الخطوة 7
الخطوة 8. اكتب المعادلة بالصيغة التربيعية
أنهيت. المعادلة النهائية هي 3 (x - 2/3)2 +11/3. يمكنك حذف المعامل 3 بقسمة طرفي المعادلة للحصول على (س - 2/3)2 +11/9. لقد نجحت في كتابة المعادلة في شكل تربيعي ، وهي أ (س - ح)2 + ك ، حيث يمثل k ثابتًا.
جزء 2 من 2: حل المعادلات التربيعية
الخطوة 1. اكتب الأسئلة
لنفترض أنك تريد حل المعادلة التالية: 3x2 + 4x + 5 = 6
الخطوة 2. اجمع الثوابت الموجودة وضعها على الجانب الأيسر من المعادلة
الثابت هو أي رقم لا يحتوي على متغير. في هذه المسألة ، الثابت هو 5 على اليسار و 6 على اليمين. إذا كنت تريد تحريك 6 إلى اليسار ، فعليك طرح طرفي المعادلة بمقدار 6. والباقي هو 0 على الجانب الأيمن (6-6) و -1 على الجانب الأيسر (5-6). تصبح المعادلة: 3x2 + 4x - 1 = 0.
الخطوة 3. إخراج معامل المتغير التربيعي
في هذه المسألة ، 3 هو معامل x2. للحصول على الرقم 3 ، أخرج الرقم 3 ، وقسم كل جزء على 3. إذن ، 3x2 3 = س2، 4x 3 = 4 / 3x ، و 1 3 = 1/3. تصبح المعادلة: 3 (x2 + 4 / 3x - 1/3) = 0.
الخطوة 4. اقسم على الثابت الذي استخرجته للتو
هذا يعني أنه يمكنك إزالة المعامل 3. بما أنك قمت بالفعل بتقسيم كل جزء على 3 ، يمكنك حذف الرقم 3 دون التأثير على المعادلة. تصبح معادلتك x2 + 4 / 3x - 1/3 = 0
الخطوة 5. قسّم الجزء الثاني على 2 وربّعه
بعد ذلك ، خذ الجزء الثاني ، 4/3 ، أو الجزء ب ، وقسمه على 2. 4/3 2 أو 4/3 × 1/2 ، يساوي 4/6 أو 2/3. و 2/3 تربيع حتى 4/9. بمجرد تربيعها ، ستحتاج إلى كتابتها على الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة لأنك تضيف جزءًا جديدًا. عليك أن تكتبها على كلا الجانبين لتوازنها. تصبح المعادلة x2 + 4/3 س + 2/32 - 1/3 = 2/32
الخطوة 6. انقل الثابت الأولي إلى الجانب الأيمن من المعادلة وأضفه إلى مربع الرقم
انقل الثابت الأولي ، -1/3 ، إلى اليمين ، ليصبح 1/3. أضف مربع الرقم ، 4/9 أو 2/32. ابحث عن مقام مشترك لجمع 1/3 و 4/9 بضرب الكسور العلوية والسفلية من 1/3 في 3. 1/3 × 3/3 = 3/9. أضف الآن 3/9 و 4/9 لتحصل على 7/9 في الجانب الأيمن من المعادلة. تصبح المعادلة: x2 + 4/3 س + 2/32 = 4/9 + 1/3 ثم x2 + 4/3 س + 2/32 = 7/9.
الخطوة 7. اكتب الجانب الأيسر من المعادلة كمربع كامل
نظرًا لأنك استخدمت الصيغة بالفعل للعثور على القطعة المفقودة ، فقد تم تخطي الجزء الصعب. كل ما عليك فعله هو وضع x ونصف قيمة المعامل الثاني بين قوسين وتربيعها ، على سبيل المثال: (x + 2/3)2. لاحظ أن تحليل مربع كامل سينتج عنه ثلاثة أجزاء: x2 + 4/3 س + 4/9. تصبح المعادلة: (x + 2/3)2 = 7/9.
الخطوة 8. الجذر التربيعي لكلا الجانبين
في الجانب الأيسر من المعادلة ، الجذر التربيعي لـ (x + 2/3)2 هو x + 2/3. على الجانب الأيمن من المعادلة ، ستحصل على +/- (√7) / 3. الجذر التربيعي للمقام 9 هو 3 والجذر التربيعي لـ 7 هو 7. تذكر أن تكتب +/- لأن الجذر التربيعي يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا.
الخطوة 9. انقل المتغيرات
لتحريك المتغير x ، ما عليك سوى تحريك الثابت 2/3 إلى الجانب الأيمن من المعادلة. الآن ، لديك إجابتان محتملتان لـ x: +/- (√7) / 3 - 2/3. هاتان إجابتك يمكنك تركها بمفردها أو إيجاد قيمة الجذر التربيعي لـ 7 إذا كان عليك كتابة إجابة بدون جذر تربيعي.
نصائح
- تأكد من كتابة +/- في المكان المناسب ، وإلا ستحصل على إجابة واحدة فقط.
- تدرب على إكمال المربع بانتظام حتى بعد أن تعرف الصيغة التربيعية إما عن طريق إثبات الصيغة التربيعية أو حل بعض المسائل. بهذه الطريقة ، لن تنسى الطريقة عندما تحتاجها.
