هناك العديد من الدوال الرياضية التي تستخدم الرؤوس. يحتوي الشكل الهندسي على عدة رؤوس ، ونظام المتباينات له رأس واحد أو أكثر ، وللمعادلة التربيعية أو المكافئة أيضًا رؤوس. تعتمد كيفية العثور على الرؤوس على الموقف ، ولكن إليك بعض الأشياء التي يجب أن تعرفها حول إيجاد القمم في كل سيناريو.
خطوة
الطريقة 1 من 5: إيجاد عدد الرؤوس في الشكل
الخطوة 1. تعلم صيغة أويلر
تنص صيغة أويلر ، كما هو مشار إليه في الهندسة أو الرسوم البيانية ، على أنه بالنسبة لأي شكل ليس مماسًا لنفسه ، فإن عدد الأضلاع بالإضافة إلى عدد الرؤوس ، مطروحًا منه عدد الأضلاع ، سيساوي دائمًا اثنين.
-
إذا كتبت في شكل معادلة ، فستبدو الصيغة كما يلي: F + V - E = 2
- يشير F إلى عدد الجوانب.
- يشير V إلى عدد الرؤوس أو القمم
- يشير E إلى عدد الأضلاع
الخطوة 2. قم بتغيير الصيغة لإيجاد عدد الرؤوس
إذا كنت تعرف عدد الأضلاع والحواف التي يمتلكها الشكل ، يمكنك حساب عدد الرؤوس بسرعة باستخدام صيغة أويلر. اطرح F من طرفي المعادلة وأضف E في كلا الطرفين ، مع ترك V في أحد طرفي المعادلة.
الخامس = 2 - و + هـ
الخطوة 3. أدخل الأرقام المعروفة وحلها
كل ما عليك فعله في هذه المرحلة هو إدخال عدد الأضلاع والحواف في المعادلة قبل الجمع أو الطرح بشكل طبيعي. الإجابة التي تحصل عليها هي عدد الرؤوس وبالتالي تحل المشكلة.
-
مثال: بالنسبة إلى المستطيل الذي يحتوي على 6 جوانب و 12 حافة …
- الخامس = 2 - و + هـ
- الخامس = 2-6 + 12
- الخامس = -4 + 12
- الخامس = 8
الطريقة 2 من 5: إيجاد الذروات في نظام من عدم المساواة الخطية
الخطوة 1. ارسم حل نظام المتباينات الخطية
في بعض الحالات ، يمكن أن يظهر رسم حلول لجميع التفاوتات في النظام بصريًا بعض أو حتى كل الرؤوس. ومع ذلك ، إذا لم تستطع ، فعليك إيجاد الرأس جبريًا.
إذا كنت تستخدم آلة حاسبة بيانية لرسم عدم المساواة ، فيمكنك التمرير سريعًا لأعلى على الشاشة إلى نقطة الرأس والعثور على إحداثياتها بهذه الطريقة
الخطوة 2. تحويل المتباينة إلى معادلة
لحل نظام من المتباينات ، تحتاج إلى تحويل المتباينات مؤقتًا إلى معادلات لإيجاد قيمة x و ذ.
-
مثال: بالنسبة لنظام عدم المساواة:
- ص <س
- ص> -x + 4
-
قم بتغيير عدم المساواة إلى:
- ص = س
- ص> -x + 4
الخطوة 3. استبدال متغير واحد بمتغير آخر
على الرغم من وجود طرق أخرى لحلها x و ذ ، غالبًا ما يكون الاستبدال أسهل طريقة. أدخل القيمة ذ من معادلة إلى أخرى ، مما يعني "استبدال" ذ في معادلة أخرى بقيمة x.
-
مثال: إذا:
- ص = س
- ص = -x + 4
-
وبالتالي ص = -x + 4 يمكن كتابتها على النحو التالي:
س = -x + 4
الخطوة 4. قم بحل المتغير الأول
الآن بعد أن أصبح لديك متغير واحد فقط في المعادلة ، يمكنك بسهولة حل المتغير ، x كما في المعادلات الأخرى: عن طريق الجمع والطرح والقسمة والضرب.
-
مثال: x = -x + 4
- س + س = -x + س + 4
- 2 س = 4
- 2 س / 2 = 4/2
- س = 2
الخطوة 5. قم بحل المتغيرات المتبقية
أدخل قيمة جديدة لـ x في المعادلة الأصلية لإيجاد قيمة ذ.
-
مثال: y = x
ص = 2
الخطوة 6. تحديد القمم
الرأس هو الإحداثي الذي يحتوي على القيمة x و ذ التي اكتشفتها للتو.
مثال: (2، 2)
الطريقة 3 من 5: إيجاد الرأس على القطع المكافئ باستخدام محور التناظر
الخطوة 1. حلل المعادلة إلى عوامل
أعد كتابة المعادلة التربيعية في صورة عامل. هناك عدة طرق لتحليل المعادلة التربيعية ، ولكن عند الانتهاء ، سيكون لديك مجموعتان بين قوسين ، وعند ضربهما معًا ، ستحصل على المعادلة الأصلية.
-
مثال: (باستخدام التحليل)
- 3 × 2 - 6 × - 45
- مخرجات نفس العامل: 3 (x2 - 2x - 15)
- ضرب المعاملين أ وج: 1 * -15 = -15
- إيجاد رقمين عند ضربهما يساوي -15 ومجموعهما يساوي القيمة ب ، -2 ؛ 3 * -5 = -15 ؛ 3 - 5 = -2
- عوّض القيمتين في المعادلة 'ax2 + kx + hx + c: 3 (x2 + 3x - 5x - 15)
- التحليل بالتجميع: f (x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
الخطوة 2. أوجد تقاطع x للمعادلة
عندما تكون الدالة x و f (x) تساوي 0 ، فإن القطع المكافئ يتقاطع مع المحور x. سيحدث هذا عندما يكون أي عامل يساوي 0.
-
مثال: 3 * (س + 3) * (س - 5) = 0
- +3 = 0
- - 5 = 0
- = -3 ؛ = 5
- إذن ، الجذور هي: (-3 ، 0) و (5 ، 0)
الخطوة 3. أوجد نقطة المنتصف
يقع محور التماثل في المعادلة بالضبط في منتصف المسافة بين جذري المعادلة. عليك أن تعرف محور التناظر لأن الرؤوس تكمن هناك.
مثال: س = 1 ؛ هذه القيمة تقع بالضبط في منتصف -3 و 5
الخطوة 4. عوض بقيمة x في المعادلة الأصلية
عوّض بقيمة x لمحور التناظر في معادلة القطع المكافئ. ستكون قيمة y هي قيمة y للرأس.
مثال: y = 3x2 - 6x - 45 = 3 (1) 2-6 (1) - 45 = -48
الخطوة 5. اكتب نقاط الرأس
حتى هذه النقطة ، فإن القيم المحسوبة الأخيرة لـ x و y ستعطي إحداثيات الرأس.
مثال: (1، -48)
طريقة 4 من 5: إيجاد الرأس على القطع المكافئ باستكمال المربعات
الخطوة 1. أعد كتابة المعادلة الأصلية في شكل قمة الرأس
صيغة "الرأس" هي معادلة مكتوبة بالصيغة ص = أ (س - ح) ^ 2 + ك ، ونقطة الرأس هي (ح ، ك). يجب إعادة كتابة المعادلة التربيعية الأصلية في هذا النموذج ، ومن أجل ذلك ، يجب عليك إكمال المربع.
مثال: y = -x ^ 2-8x - 15
الخطوة 2. احصل على المعامل أ
احذف المعامل الأول a من المعاملين الأولين للمعادلة. اترك المعامل الأخير c عند هذه النقطة.
مثال: -1 (س ^ 2 + 8 س) - 15
الخطوة 3. أوجد الثابت الثالث داخل الأقواس
يجب وضع الثابت الثالث بين قوسين بحيث تشكل القيم الموجودة بين قوسين مربعًا كاملاً. هذا الثابت الجديد يساوي مربع نصف المُعامل في المنتصف.
-
مثال: 8/2 = 4 ؛ 4 * 4 = 16 ؛ لهذا السبب،
- -1 (س ^ 2 + 8 س + 16)
- تذكر أن العمليات التي يتم إجراؤها داخل الأقواس يجب أيضًا إجراؤها خارج الأقواس:
- ص = -1 (س ^ 2 + 8 س + 16) - 15 + 16
الخطوة 4. بسّط المعادلة
نظرًا لأن الشكل الموجود داخل الأقواس أصبح الآن مربعًا كاملًا ، يمكنك تبسيط الشكل داخل الأقواس إلى شكل عامل. في نفس الوقت ، يمكنك إضافة أو طرح القيم خارج الأقواس.
مثال: ص = -1 (س + 4) ^ 2 + 1
الخطوة 5. أوجد الإحداثيات بناءً على معادلة الرأس
تذكر أن شكل رأس المعادلة هو ص = أ (س - ح) ^ 2 + ك ، مع (ح ، ك) وهي إحداثيات الرأس. الآن لديك معلومات كاملة لإدخال القيم في h و k وحل المشكلة.
- ك = 1
- ح = -4
- بعد ذلك ، يمكن العثور على رأس المعادلة على: (-4, 1)
طريقة 5 من 5: إيجاد قمة على القطع المكافئ باستخدام صيغة بسيطة
الخطوة 1. أوجد قيمة x للرأس مباشرة
عندما يتم كتابة معادلة القطع المكافئ في الشكل ص = فأس ^ 2 + ب س + ج ، يمكن إيجاد x للرأس بالصيغة س = -ب / 2 أ. ما عليك سوى إدخال قيمتي a و b من المعادلة في الصيغة لإيجاد x.
- مثال: y = -x ^ 2-8x - 15
- س = -ب / 2 أ = - (- 8) / (2 * (- 1)) = 8 / (- 2) = -4
- س = -4
الخطوة 2. عوّض بهذه القيمة في المعادلة الأصلية
بالتعويض عن قيمة x في المعادلة ، يمكنك إيجاد y. ستكون قيمة y هي قيمة y لإحداثيات الرأس.
-
مثال: y = -x ^ 2-8x - 15 = - (- 4) ^ 2-8 (-4) - 15 = - (16) - (-32) - 15 = -16 + 32-15 = 1
ص = 1
الخطوة 3. اكتب إحداثيات الرؤوس
قيمتي x و y التي تحصل عليها هي إحداثيات نقطة الرأس.
