يمكن استخدام المشتقات لاشتقاق الخصائص المفيدة من الرسم البياني ، مثل قيم الحد الأقصى ، والحد الأدنى ، والقمة ، والقاع ، والميل. يمكنك حتى استخدامها لرسم معادلات معقدة بدون استخدام آلة حاسبة بيانية! لسوء الحظ ، غالبًا ما يكون العمل على المشتقات مملاً ، لكن هذه المقالة ستساعدك ببعض النصائح والحيل.
خطوة
الخطوة 1. فهم التدوين المشتق
الترميزان التاليان هما الأكثر استخدامًا ، على الرغم من أنه يمكن العثور على العديد من الرموز الأخرى هنا على ويكيبيديا.
- تدوين Leibniz هذا الترميز هو الأكثر استخدامًا عندما تتضمن المعادلة y و x. dy / dx تعني حرفياً مشتق y بالنسبة إلى x. قد يكون من المفيد التفكير في الأمر على أنه y / Δx لقيم مختلفة جدًا لكل من x و y. يؤدي هذا التفسير إلى تعريف حد المشتق: limح-> 0 (f (x + h) -f (x)) / h. عند استخدام هذا الترميز للمشتق الثاني ، يجب أن تكتب: d2ص / DX2.
- تدوين لاغرانج مشتق الدالة f مكتوب أيضًا في صورة f '(x). يقرأ هذا الترميز f المُحدد x. هذا الترميز أقصر من تدوين Leibniz ، وهو مفيد عند عرض المشتقات كوظائف. لتشكيل درجة أكبر من المشتقة ، ما عليك سوى إضافة 'إلى f ، وبالتالي فإن المشتق الثاني سيكون f' '(x).
الخطوة 2. فهم معنى المشتق وأسباب النسب
أولاً ، لإيجاد ميل الرسم البياني الخطي ، تم أخذ نقطتين على الخط وإدخال إحداثياتهما في المعادلة (y2 - ذ1) / (x2 - س1). ومع ذلك ، يمكن استخدامه فقط للرسوم البيانية الخطية. بالنسبة للمعادلات التربيعية وأعلى ، سيكون الخط منحنيًا ، لذا فإن إيجاد الفرق بين نقطتين ليس دقيقًا للغاية. لإيجاد ميل المماس في الرسم البياني للمنحنى ، تم أخذ نقطتين ، ووضعهما في المعادلة العامة لإيجاد ميل الرسم البياني للمنحنى: [f (x + dx) - f (x)] / dx. يشير Dx إلى دلتا x ، وهو الفرق بين إحداثيات x عند نقطتين على الرسم البياني. لاحظ أن هذه المعادلة هي نفسها (y2 - ذ1) / (x2 - س1) ، فقط في شكل مختلف. نظرًا لأنه كان معروفًا أن النتائج ستكون غير دقيقة ، تم تطبيق نهج غير مباشر. لإيجاد ميل المماس على (x، f (x)) ، يجب أن يكون dx قريبًا من 0 ، بحيث يتم دمج النقطتين المرسومتين في نقطة واحدة. ومع ذلك ، لا يمكنك قسمة 0 ، لذا بمجرد إدخال قيم النقطتين ، سيتعين عليك استخدام التحليل وطرق أخرى لإزالة dx من أسفل المعادلة. بمجرد القيام بذلك ، قم بعمل dx 0 وتكون بذلك قد انتهيت. هذا هو ميل المماس على (x، f (x)). مشتق المعادلة هو المعادلة العامة لإيجاد ميل أي مماس على الرسم البياني. قد يبدو هذا معقدًا للغاية ، ولكن هناك بعض الأمثلة أدناه ، والتي ستساعد في شرح كيفية الحصول على المشتق.
طريقة 1 من 4: المشتقات الصريحة
الخطوة 1. استخدم مشتقًا صريحًا إذا كانت معادلتك تحتوي على y بالفعل في أحد طرفيها
الخطوة 2. أدخل المعادلة في المعادلة [f (x + dx) - f (x)] / dx
على سبيل المثال ، إذا كانت المعادلة y = x2، سيكون المشتق [(x + dx)2 - س2] / dx.
الخطوة 3. قم بتوسيع وإزالة dx لتشكيل المعادلة [dx (2x + dx)] / dx
الآن ، يمكنك إلقاء اثنين dx في الأعلى والأسفل. تكون النتيجة 2x + dx ، وعندما يقترب dx من الصفر ، يكون المشتق 2x. هذا يعني أن ميل أي مماس للرسم البياني y = x2 هو 2x. فقط أدخل قيمة x للنقطة التي تريد إيجاد ميل لها.
الخطوة 4. تعلم أنماط لاشتقاق المعادلات المتشابهة
وهنا بعض الأمثلة.
- أي أس هو الأس مضروبًا في القيمة ، مرفوعًا للقوة الأقل من 1. على سبيل المثال ، مشتق x5 هو 5x4، ومشتق x3, 5 iis3 ، 5x2, 5. إذا كان هناك رقم بالفعل أمام x ، فاضربه في الأس. على سبيل المثال ، مشتق 3x4 هو 12x3.
- مشتق أي ثابت هو صفر. إذن ، مشتق 8 هو 0.
- مشتق المجموع هو مجموع المشتقات المعنية. على سبيل المثال ، مشتق x3 + 3x2 هو 3x2 + 6x.
- مشتق المنتج هو العامل الأول في مشتق العامل الثاني زائد العامل الثاني في مشتق العامل الأول. على سبيل المثال ، مشتق x3(2x + 1) تساوي x3(2) + (2x + 1) 3x2، والتي تساوي 8x3 + 3x2.
- مشتق حاصل القسمة (على سبيل المثال ، f / g) هو [g (مشتق f) - f (مشتق g)] / g2. على سبيل المثال ، مشتق (x2 + 2x - 21) / (x - 3) هي (x2 - 6x + 15) / (x - 3)2.
طريقة 2 من 4: المشتقات الضمنية
الخطوة 1. استخدم المشتقات الضمنية إذا كان لا يمكن بالفعل كتابة المعادلة مع y على أحد طرفيها
في الواقع ، إذا كتبت y على جانب واحد ، فسيكون حساب dy / dx أمرًا شاقًا. فيما يلي مثال لكيفية حل هذا النوع من المعادلات.
الخطوة 2. في هذا المثال ، x2ص + 2 ص3 = 3x + 2y ، استبدل y بـ f (x) ، لذلك ستتذكر أن y هي في الواقع دالة.
تصبح المعادلة بعد ذلك x2و (س) + 2 [و (خ)]3 = 3x + 2f (x).
الخطوة 3. لإيجاد مشتقة هذه المعادلة ، قم باشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى x
تصبح المعادلة بعد ذلك x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2و '(x) = 3 + 2f' (x).
الخطوة 4. استبدل f (x) بـ y مرة أخرى
احرص على عدم استبدال f '(x) التي تختلف عن f (x).
الخطوة 5. أوجد f '(x)
تصبح إجابة هذا المثال (3 - 2xy) / (x2 + 6 سنوات2 - 2).
طريقة 3 من 4: المشتقات ذات الترتيب الأعلى
الخطوة 1. اشتقاق دالة ذات ترتيب أعلى يعني أنك تشتق المشتق (للطلب 2)
على سبيل المثال ، إذا طلبت منك المسألة اشتقاق الترتيب الثالث ، فكل ما عليك هو أخذ مشتق المشتق. بالنسبة لبعض المعادلات ، سيكون المشتق من الدرجة الأعلى صفرًا.
طريقة 4 من 4: قاعدة السلسلة
الخطوة 1. إذا كانت y دالة تفاضلية لـ z ، وكانت z دالة تفاضلية لـ x ، فإن y هي دالة مركبة لـ x ، ومشتق y بالنسبة إلى x (dy / dx) هو (dy / du) * (du / DX)
يمكن أن تكون قاعدة السلسلة أيضًا مجموعة من معادلات القوة ، مثل هذا: (2x4 - x)3. لإيجاد المشتقة ، فكر في الأمر مثل قاعدة الضرب. اضرب المعادلة في القوة وانخفض بمقدار 1 أس. بعد ذلك ، اضرب المعادلة في مشتق المعادلة بين الأقواس التي ترفع الأس (في هذه الحالة ، 2x ^ 4 - x). الإجابة على هذا السؤال هي 3 (2x4 - x)2(8x3 - 1).
نصائح
- متى رأيت مشكلة يصعب حلها ، فلا داعي للقلق. فقط حاول تقسيمها إلى أكبر عدد ممكن من الأجزاء الأصغر من خلال تطبيق قواعد الضرب والحاصل وما إلى ذلك. ثم قم بخفض كل جزء.
- تدرب على قاعدة الضرب ، وقاعدة خارج القسمة ، وقاعدة السلسلة ، وخاصة المشتقات الضمنية ، لأن هذه القواعد أكثر صعوبة في حساب التفاضل والتكامل.
- فهم الآلة الحاسبة جيدًا ؛ جرب الوظائف المختلفة في الآلة الحاسبة لتتعلم كيفية استخدامها. من المفيد جدًا معرفة كيفية استخدام وظائف الظل والمشتقات في الآلة الحاسبة إذا كانت متوفرة.
- تذكر المشتقات المثلثية الأساسية وكيفية استخدامها.
