كيفية تبسيط الكسور المعقدة: 9 خطوات (بالصور)

2024 مؤلف: Jason Gerald | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-15 08:08

الكسر المركب هو كسر يحتوي فيه البسط أو المقام أو كلاهما أيضًا على كسر. لهذا السبب ، يشار إلى الكسور المعقدة أحيانًا باسم "الكسور المكدسة". يمكن أن يكون تبسيط الكسور المعقدة أمرًا سهلاً أو صعبًا ، اعتمادًا على عدد الأرقام الموجودة في البسط والمقام ، سواء كان أحد الأرقام متغيرًا ، أو مدى تعقيد الرقم المتغير. انظر الخطوة 1 أدناه لتبدأ!

خطوة

طريقة 1 من 2: تبسيط الكسور المعقدة بضرب عكسي

الخطوة 1. بسّط البسط والمقام إلى كسر واحد إذا لزم الأمر

ليس من الصعب دائمًا حل الكسور المعقدة. في الواقع ، من السهل حل الكسور المعقدة التي يحتوي بسطها ومقامها على كسر واحد. لذا ، إذا كان البسط أو المقام (أو كلاهما) لكسر معقد يحتوي على عدة كسور أو كسور وعدد صحيح ، فقم بتبسيطه للحصول على كسر واحد في كل من البسط والمقام. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لكسرين أو أكثر.

• على سبيل المثال ، لنفترض أننا نريد تبسيط كسر مركب (3/5 + 2/15) / (5/7 - 3/10). أولًا ، سنبسط كلًا من بسط الكسر المركب ومقامه في كسر واحد.

  • لتبسيط البسط ، استخدم المضاعف المشترك الأصغر 15 الذي تم الحصول عليه بضرب 3/5 في 3/3. سيكون البسط هو 9/15 + 2/15 ، وهو ما يساوي 11/15.
  • لتبسيط المقام ، سنستخدم نتيجة المضاعف المشترك الأصغر 70 والتي يتم الحصول عليها بضرب 5/7 في 10/10 و 3/10 في 7/7. سيكون المقام 50/70 - 21/70 ، وهو ما يساوي 29/70.
  • وبالتالي ، فإن الكسر المعقد الجديد هو (11/15)/(29/70).

الخطوة 2. اقلب المقام لإيجاد مقلوبه

حسب التعريف ، قسمة رقم على آخر هو نفس ضرب الرقم الأول في مقلوب الرقم الثاني. الآن بعد أن أصبح لدينا كسر مركب به كسر واحد في كل من البسط والمقام ، سنستخدم هذه القسمة لتبسيط الكسر المركب. أولًا ، أوجد مقلوب الكسر الموجود أسفل الكسر المركب. افعل ذلك عن طريق "قلب" الكسر - وضع البسط في مكان المقام والعكس صحيح.

• في مثالنا ، الكسر في مقام الكسر المركب (11/15) / (29/70) هو 29/70. لإيجاد المعكوس ، "نعكسه" حتى نحصل عليه 70/29.

  لاحظ أنه إذا كان الكسر المعقد يحتوي على عدد صحيح في المقام ، فيمكننا معاملته ككسر وإيجاد مقلوبه. على سبيل المثال ، إذا كان الكسر المركب هو (11/15) / (29) ، فيمكننا أن نجعل المقام 29/1 ، مما يعني أن المقلوب هو 1/29.

الخطوة 3. اضرب بسط الكسر المركب في مقلوب المقام

الآن وقد حصلنا على مقلوب مقام الكسر المركب ، اضربه في البسط للحصول على كسر بسيط واحد. تذكر أنه لضرب كسرين ، فإننا نقوم فقط بالضرب التبادلي - بسط الكسر الجديد هو رقم البسط للكسرين القديمين ، وكذلك المقام.

في مثالنا ، سنضرب 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 و 15 × 29 = 435. إذن ، الكسر البسيط الجديد هو 770/435.

الخطوة 4. بسّط الكسر الجديد بإيجاد العامل المشترك الأكبر

لدينا بالفعل كسر بسيط ، لذا كل ما علينا فعله هو الخروج بأبسط عدد. أوجد العامل المشترك الأكبر (GCF) للبسط والمقام وقسم كلاهما على هذا العدد لتبسيطه.

أحد العوامل المشتركة بين 770 و 435 هو 5. لذلك ، إذا قسمنا بسط الكسر ومقامه على 5 ، نحصل على 154/87. لا يوجد عوامل مشتركة بين 154 و 87 ، لذا فهذه هي الإجابة النهائية!

الطريقة 2 من 2: تبسيط الكسور المركبة التي تحتوي على أعداد متغيرة

الخطوة 1. إذا أمكن ، استخدم طريقة الضرب العكسي أعلاه

للتوضيح ، يمكن تبسيط جميع الكسور المعقدة تقريبًا بطرح البسط والمقام بكسر واحد وضرب البسط في مقلوب المقام. يتم أيضًا تضمين الكسور المعقدة التي تحتوي على متغيرات ، على الرغم من أنه كلما كان التعبير عن المتغيرات في الكسور المعقدة أكثر تعقيدًا ، كلما كان استخدام الضرب العكسي أكثر صعوبة واستهلاكًا للوقت. بالنسبة للكسور المعقدة "السهلة" التي تحتوي على متغيرات ، يعد الضرب العكسي خيارًا جيدًا ، ولكن قد يكون من الأسهل تبسيط الكسور المعقدة ذات الأرقام المتغيرة المتعددة في البسط والمقام بالطريقة البديلة الموضحة أدناه.

• على سبيل المثال ، من السهل تبسيط (1 / x) / (x / 6) عن طريق الضرب العكسي. 1 / س × 6 / س = 6 / س². ليست هناك حاجة لاستخدام طرق بديلة هنا.
• ومع ذلك ، يصعب تبسيط (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) عن طريق الضرب العكسي. يمكن أن يكون اختزال البسط والمقام للكسور المعقدة إلى كسور فردية ، والضرب العكسي ، وتقليل النتيجة إلى أبسط الأرقام عملية معقدة. في هذه الحالة ، قد تكون الطريقة البديلة أدناه أسهل.

الخطوة 2. إذا لم يكن الضرب العكسي عمليًا ، فابدأ بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للعدد الكسري في الكسر المركب

الخطوة الأولى هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لجميع الأعداد الكسرية في الكسر المركب - في كل من البسط والمقام. عادةً ، إذا كان لواحد أو أكثر من الأعداد الكسرية رقم في المقام ، فإن المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم الموجود في المقام.

هذا أسهل في الفهم بمثال. دعنا نحاول تبسيط الكسور المركبة المذكورة أعلاه ، (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))). الأعداد الكسرية في هذا الكسر المركب هي (1) / (x + 3) و (1) / (x-5). المضاعف المشترك الأصغر للكسرين هو الرقم في المقام: (x + 3) (x-5).

الخطوة 3. اضرب بسط الكسر المركب في المضاعف المشترك الأصغر المكتشف حديثًا

بعد ذلك ، علينا ضرب الرقم في الكسر المركب في المضاعف المشترك الأصغر للعدد الكسري. بمعنى آخر ، سنضرب كل الكسور المركبة في (KPK) / (KPK). يمكننا القيام بذلك بشكل مستقل لأن (KPK) / (KPK) يساوي 1. أولاً ، اضرب البسط نفسه.

• في مثالنا ، سنضرب الكسر المركب ، (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) ، أي (((x + 3) (x-5)) / ((x + 3) (x-5)). علينا الضرب في بسط ومقام الكسر المركب ، وضرب كل رقم في (x + 3) (x-5).

  • أولاً ، لنضرب البسط: (((1) / (x + 3)) + x - 10) × (x + 3) (x-5)

    • = ((x + 3) (x-5) / (x + 3)) + x ((x + 3) (x-5)) - 10 ((x + 3) (x-5))
    • = (x-5) + (x (x.)² - 2x - 15)) - (10 (x² - 2x - 15))
    • = (س -5) + (س³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
    • = (س -5) + س³ - 12x² +5 س + 150
    • = x³ - 12x² +6 س +145

الخطوة 4. اضرب مقام الكسر المركب في المضاعف المشترك الأصغر كما تفعل مع البسط

استمر في ضرب الكسر المركب في المضاعف المشترك الأصغر الموجود بالانتقال إلى المقام. اضرب الكل ، اضرب كل رقم في المضاعف المشترك الأصغر.

• مقام الكسر المركب ، (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) ، هو x +4 + (((1) // (x-5)). سنضربه في المضاعف المشترك الأصغر الموجود ، (x + 3) (x-5).

  • (x +4 + ((1) / (x - 5))) × (x + 3) (x-5)
  • = x ((x + 3) (x-5)) + 4 ((x + 3) (x-5)) + (1 / (x-5)) (x + 3) (x-5).
  • = س (س² - 2x - 15) + 4 (x² - 2x - 15) + ((x + 3) (x-5)) / (x-5)
  • = س³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x + 3)
  • = س³ + 2x² - 23x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 22x - 57

الخطوة 5. قم بإنشاء كسر جديد ومبسط من البسط والمقام الذي تم العثور عليه حديثًا

بعد ضرب الكسر في (KPK) / (KPK) وتبسيطه بجمع الأرقام ، تكون النتيجة كسرًا بسيطًا لا يحتوي على عدد كسري. لاحظ أنه بضرب المضاعف المشترك الأصغر للعدد الكسري في الكسر المركب الأصلي ، سيتم استنفاد مقام هذا الكسر وترك العدد المتغير والعدد الصحيح في بسط المجيب ومقامه ، بدون أي كسور.

باستخدام البسط والمقام الموجودين أعلاه ، يمكننا إنشاء كسر مماثل للكسر المركب الأصلي ، لكنه لا يحتوي على العدد الكسري. البسط الذي تم الحصول عليه هو x³ - 12x² + 6x + 145 والمقام الذي حصلنا عليه هو x³ + 2x² - 22x - 57 ، إذن يصبح الكسر الجديد (x³ - 12x² +6 س + 145) / (س³ + 2x² - 22x - 57)

نصائح

• اعرض كل خطوة في العمل. يمكن أن تكون الكسور محيرة إذا كانت الخطوات تعد بسرعة كبيرة أو تحاول حفظها عن ظهر قلب.
• ابحث عن أمثلة للكسور المعقدة على الإنترنت أو في الكتب. اتبع كل خطوة حتى يمكن إتقانها.