كيفية تبسيط المعادلات الرياضية: 13 خطوة

2024 مؤلف: Jason Gerald | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-15 08:08

غالبًا ما يُطلب من طلاب الرياضيات تدوين إجاباتهم في أبسط أشكالها - وبعبارة أخرى ، تدوين الإجابات بأناقة قدر الإمكان. على الرغم من أن المعادلات الطويلة والصلبة والقصيرة ، فضلاً عن كونها أنيقة ، هي من الناحية الفنية نفس الشيء ، غالبًا ، لا تعتبر مسألة الرياضيات كاملة إذا لم يتم اختزال الإجابة النهائية إلى أبسط أشكالها. أيضًا ، فإن الإجابة في أبسط صورها هي دائمًا أسهل معادلة يمكن التعامل معها. لهذا السبب ، فإن تعلم كيفية تبسيط المعادلات هو مهارة مهمة لعلماء الرياضيات.

خطوة

طريقة 1 من 2: استخدام تسلسل العملية

الخطوة 1. تعرف على ترتيب العمليات

عند تبسيط التعابير الرياضية ، لا يمكنك فقط العمل من اليسار إلى اليمين والضرب والجمع والطرح وما إلى ذلك بالترتيب من اليسار إلى اليمين. يجب أن يكون لبعض العمليات الحسابية الأسبقية على غيرها وأن يتم إجراؤها أولاً. في الواقع ، يمكن أن يؤدي استخدام الترتيب الخاطئ للعمليات إلى إعطاء إجابة خاطئة. ترتيب العمليات هو: الجزء الموجود بين الأقواس ، والأس ، والضرب ، والقسمة ، والجمع ، وأخيراً ، الطرح. اختصار يمكنك استخدامه للتذكر هو لأن الأم ليست جيدة ، وشريرة ، وفقيرة.

لاحظ أنه في حين أن المعرفة الأساسية بترتيب العمليات يمكن أن تبسط المعادلات الأساسية ، إلا أن هناك حاجة إلى تقنيات خاصة لتبسيط العديد من المعادلات المتغيرة ، بما في ذلك جميع كثيرات الحدود تقريبًا. راجع الطريقة الثانية التالية لمزيد من المعلومات

الخطوة 2. ابدأ بإكمال جميع الأقسام الموجودة بين قوسين

في الرياضيات ، تشير الأقواس إلى أنه يجب حساب الجزء الداخلي بشكل منفصل عن التعبير الموجود خارج الأقواس. بغض النظر عن العمليات داخل الأقواس ، تأكد من إكمال الجزء الموجود داخل الأقواس أولاً عندما تحاول تبسيط المعادلة. على سبيل المثال ، بين قوسين ، يجب عليك الضرب قبل الجمع والطرح وما إلى ذلك.

• على سبيل المثال ، لنحاول تبسيط المعادلة 2x + 4 (5 + 2) + 3² - (3 + 4/2). في هذه المعادلة ، علينا حل الجزء الموجود داخل الأقواس ، أي 5 + 2 و 3 + 4/2 أولاً. 5 + 2 =

  الخطوة 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2

  الخطوة الخامسة

  تم تبسيط الجزء الموجود في القوس الثاني إلى 5 لأنه وفقًا لترتيب العمليات ، نقسم 4/2 أولاً بين قوسين. إذا عملنا من اليسار إلى اليمين ، نضيف 3 و 4 أولاً ، ثم نقسم على 2 ، ونعطي الإجابة الخاطئة 7/2

• ملاحظة - إذا كان هناك العديد من الأقواس بين قوسين ، فأكمل القسم الموجود في القوس الأعمق ، ثم في الجزء الداخلي الثاني ، وهكذا.

الخطوة 3. حل الأس

بعد الانتهاء من الأقواس ، حل بعد ذلك أس المعادلة. من السهل تذكر هذا لأنه في الأسس ، يكون الرقم الأساسي وقوة الأس بجوار بعضهما البعض. أوجد إجابة كل جزء من الأس ، ثم عوض بإجابتك في المعادلة لتحل محل جزء الأس.

بعد إكمال الجزء الموجود بين قوسين ، تصبح معادلة المثال الآن 2x + 4 (7) + 3² - 5. الأسي الوحيد في مثالنا هو 3²، وهو ما يساوي 9. أضف هذه النتيجة إلى المعادلة لتحل محل 3² ينتج عنه 2x + 4 (7) + 9-5.

الخطوة 4. حل مسألة الضرب في المعادلة

بعد ذلك ، قم بأي عملية ضرب مطلوبة في معادلتك. تذكر أنه يمكن كتابة الضرب بعدة طرق. يعد رمز النقطة × أو علامة النجمة طريقة لإظهار الضرب. ومع ذلك ، فإن الرقم الموجود بجوار الأقواس أو المتغير (مثل 4 (س)) يمثل أيضًا عملية الضرب.

• يوجد جزءان لعملية الضرب في مشكلتنا: 2x (2x هي 2 × x) و 4 (7). لا نعرف قيمة x ، لذا نتركها عند 2x. 4 (7) = 4 × 7 =

  الخطوة 28.. يمكننا إعادة كتابة المعادلة لتصبح 2x + 28 + 9-5.

الخطوة 5. انتقل إلى القسمة

عندما تبحث عن مسائل قسمة في معادلاتك ، ضع في اعتبارك أنه ، مثل الضرب ، يمكن كتابة القسمة بعدة طرق. أحد هذه الرموز هو الرمز ، ولكن ضع في اعتبارك أن الخطوط المائلة والشرطات كما هو الحال في الكسور (مثل 3/4) تشير أيضًا إلى الانقسام.

لأننا قمنا بالفعل بالقسمة (4/2) عندما انتهينا من الأجزاء الموجودة بين قوسين. لا يحتوي مثالنا بالفعل على مسألة قسمة ، لذا سنتخطى هذه الخطوة. يوضح هذا نقطة مهمة - لست مضطرًا لإجراء جميع العمليات عند تبسيط تعبير ، فقط العمليات الموجودة في مشكلتك

الخطوة 6. بعد ذلك ، أضف كل ما هو موجود في المعادلة

يمكنك العمل من اليسار إلى اليمين ، ولكن من الأسهل جمع الأرقام التي يسهل جمعها أولاً. على سبيل المثال ، في المسألة 49 + 29 + 51 + 71 ، من الأسهل إضافة 49 + 51 = 100 ، 29 + 71 = 100 ، 100 + 100 = 200 ، من 49 + 29 = 78 ، 78 + 51 = 129 و 129 + 71 = 200.

تم تبسيط المعادلة التي لدينا في المثال جزئيًا إلى 2x + 28 + 9-5. الآن ، علينا جمع الأرقام التي يمكننا جمعها - لنلق نظرة على كل مسألة جمع من اليسار إلى اليمين. لا يمكننا إضافة 2x و 28 لأننا لا نعرف قيمة x ، لذا فإننا نتخطاه. 28 + 9 = 37 ، يمكن إعادة كتابتها كـ 2x + 37-5.

الخطوة 7. الخطوة الأخيرة في تسلسل العمليات هي الطرح

استمر في مشكلتك عن طريق حل مسائل الطرح المتبقية. قد تتمكن من التفكير في الطرح على أنه إضافة أرقام سالبة في هذه الخطوة ، أو باستخدام نفس الخطوات المستخدمة في مسألة الجمع العادية - لن يؤثر اختيارك على إجابتك.

• في مشكلتنا 2x + 37-5 ، توجد مسألة طرح واحدة فقط. 37-5 =

  الخطوة 32.

الخطوة 8. تحقق من المعادلة الخاصة بك

بعد الحل باستخدام ترتيب العمليات ، يجب تبسيط المعادلة إلى أبسط صورة. ومع ذلك ، إذا كانت معادلتك تحتوي على متغير واحد أو أكثر ، فافهم أن متغيراتك لا تحتاج إلى العمل عليها. لتبسيط متغير ، يجب عليك إما العثور على قيمة المتغير الخاص بك أو استخدام تقنيات خاصة لتبسيط التعبير (انظر الخطوة أدناه).

إجابتنا النهائية هي 2x + 32. لا يمكننا حل هذه الإضافة النهائية ما لم نعرف قيمة x ، ولكن إذا عرفنا قيمتها ، فسيكون حل هذه المعادلة أسهل بكثير من حل المعادلة الأصلية الطويلة

طريقة 2 من 2: تبسيط المعادلات المعقدة

الخطوة 1. اجمع الأجزاء التي لها نفس المتغير

عند حل المعادلات المتغيرة ، تذكر أن الأجزاء التي لها نفس المتغير والأس (أو نفس المتغير) يمكن إضافتها وطرحها مثل الأرقام العادية. يجب أن يحتوي هذا الجزء على نفس المتغير والأس. على سبيل المثال ، يمكن إضافة 7x و 5x ، لكن 7x و 5x² لا يمكن إضافته.

• تنطبق هذه القاعدة أيضًا على بعض المتغيرات. على سبيل المثال ، 2xy² يمكن تلخيصها بـ -3 xy²، ولكن لا يمكن جمعها بـ -3x²ص أو -3 سنوات².
• انظر المعادلة س² + 3 س + 6-8 س. في هذه المعادلة ، يمكننا إضافة 3x و -8x لأن لهما نفس المتغير والأس. تصبح المعادلة البسيطة س² - 5x + 6.

الخطوة 2. بسّط الأعداد الكسرية بقسمة أو حذف العوامل

يمكن تبسيط الكسور التي تحتوي على أرقام فقط (وليس بها متغيرات) في البسط والمقام بعدة طرق. الأول ، وربما الأسهل ، هو اعتبار الكسر مشكلة قسمة وقسمة المقام على البسط. يمكن أيضًا شطب أي عامل ضرب يظهر في البسط والمقام لأن قسمة العاملين ينتج عنها الرقم 1.

على سبيل المثال ، انظر إلى الكسر 36/60. إذا كانت لدينا آلة حاسبة ، فيمكننا تقسيمها للحصول على الإجابة 0, 6. ومع ذلك ، إذا لم يكن لدينا آلة حاسبة ، فلا يزال بإمكاننا تبسيطها بشطب نفس العوامل. طريقة أخرى لتخيل 36/60 هي (6 × 6) / (6 × 10). يمكن كتابة هذا الكسر في صورة 6/6 × 6/10. 6/6 = 1 ، لذا فإن الكسر هو في الواقع 1 × 6/10 = 6/10. ومع ذلك ، لم ننتهي بعد - لكل من 6 و 10 نفس العامل ، وهو 2. بتكرار الطريقة المذكورة أعلاه ، تصبح النتيجة 3/5.

الخطوة 3. في الكسر المتغير ، اشطب جميع عوامل المتغير

المعادلات المتغيرة في شكل كسور لها طريقة فريدة في التبسيط. مثل الكسور العادية ، تسمح لك الكسور المتغيرة باستبعاد العوامل المشتركة بين البسط والمقام. ومع ذلك ، في الكسور المتغيرة ، يمكن أن تكون هذه العوامل أرقامًا ومعادلات للمتغير الفعلي.

• لنفترض المعادلة (3x² + 3x) / (- 3x² + 15x) يمكن كتابة هذا الكسر بالصيغة (x + 1) (3x) / (3x) (5 - x) ، 3x يظهر في كل من البسط والمقام. بإخراج هذه العوامل من المعادلة ، تصبح النتيجة (x + 1) / (5 - x). كما في التعبير (2x² + 4x + 6) / 2 ، نظرًا لأن كل جزء قابل للقسمة على 2 ، فيمكننا كتابة المعادلة على النحو التالي (2 (x² + 2x + 3)) / 2 ثم التبسيط إلى x² + 2 س + 3.
• لاحظ أنه لا يمكنك شطب كل الأقسام - يمكنك فقط شطب عوامل الضرب التي تظهر في البسط والمقام. على سبيل المثال ، في التعبير (x (x + 2)) / x ، يمكن شطب x من كل من البسط والمقام ، بحيث يصبح (x + 2) / 1 = (x + 2). ومع ذلك ، لا يمكن شطب (x + 2) / x إلى 2/1 = 2.

الخطوة 4. اضرب الجزء الموجود بين قوسين في الثابت

عند ضرب الجزء الذي يحتوي على متغير بين قوسين في ثابت ، فإن ضرب كل جزء بين قوسين في ثابت يمكن أن ينتج عنه معادلة أبسط. ينطبق هذا على الثوابت التي تتكون فقط من أرقام وثوابت لها متغيرات.

• على سبيل المثال ، المعادلة 3 (x² + 8) إلى 3x² + 24 ، بينما 3x (x² + 8) إلى 3x³ + 24 ضعفًا.
• لاحظ أنه في بعض الحالات ، مثل الكسور المتغيرة ، يمكن شطب الثوابت الموجودة حول الأقواس حتى لا تضطر إلى الضرب في الجزء الموجود بين الأقواس. في الكسور (3 (x² + 8)) / 3x ، على سبيل المثال ، يظهر العامل 3 في كل من البسط والمقام ، لذلك يمكننا شطبها وتبسيط التعبير إلى (x² + 8) / س. هذا التعبير أبسط وأسهل في التعامل معه من (3x³ + 24x) / 3x ، وهي النتيجة التي سنحصل عليها إذا ضربناها.

الخطوة 5. التبسيط عن طريق التحليل إلى عوامل

التحليل هو أسلوب يمكن استخدامه لتبسيط بعض التعبيرات المتغيرة ، بما في ذلك كثيرات الحدود. فكر في التحليل على أنه نقيض الضرب في الجزء الموجود بين الأقواس في الخطوة أعلاه - في بعض الأحيان ، يمكن اعتبار التعبير على أنه جزءان يتم ضربهما في بعضهما البعض ، بدلاً من التعبير الوحدوي. هذا صحيح بشكل خاص إذا كان تحليل المعادلة يسمح لك بشطب أحد أجزائها (كما في الكسور). في حالات معينة (غالبًا مع المعادلات التربيعية) ، قد يسمح لك التحليل بالعثور على حل المعادلة.

• لنفترض مرة أخرى التعبير x² - 5x + 6. يمكن تحليل هذا التعبير إلى (x - 3) (x - 2). لذا ، إذا كانت x² - 5x + 6 هو بسط معادلة معينة حيث يكون للمقام أحد هذه العوامل ، كما في التعبير (x² - 5x + 6) / (2 (x - 2)) ، قد نرغب في كتابتها في صورة عامل حتى نتمكن من شطب العامل بالمقام. بمعنى آخر ، في (x - 3) (x - 2) / (2 (x - 2)) ، يمكن شطب الجزء (x - 2) ليكون (x - 3) / 2.

• كما أشرنا أعلاه ، هناك سبب آخر قد يجعلك ترغب في تحليل المعادلات إلى عوامل ، وهو أن التحليل يمكن أن يمنحك إجابات على معادلات معينة ، خاصة إذا كانت مكتوبة بصيغة 0. على سبيل المثال ، المعادلة x² - 5x + 6 = 0. التحليل يعطي (x - 3) (x - 2) = 0. بما أن أي عدد مضروب في صفر يساوي صفرًا ، فنحن نعلم أنه إذا كان أي جزء من الأقواس يساوي صفرًا ، فكل المعادلة على يسار علامة التساوي هي أيضًا صفر. لهذا السبب

  الخطوه 3. دا

  الخطوة 2. هما إجابتا المعادلة.