صيغة الجذر هي بيان جبري له علامة الجذر التربيعي (أو الجذر التكعيبي أو أعلى). يمكن أن يمثل هذا النموذج غالبًا رقمين لهما نفس القيمة على الرغم من أنهما قد يبدوان مختلفين للوهلة الأولى (على سبيل المثال ، 1 / (sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). لذلك ، نحتاج إلى "صيغة معيارية" لهذا النوع من الشكل. إذا كانت هناك عبارتان ، كلاهما في الصيغة القياسية ، تبدو مختلفة ، فهما ليسا متماثلين. يتفق علماء الرياضيات على أن الصيغة القياسية للشكل التربيعي تفي بالمتطلبات التالية:
- تجنب استخدام الكسور
- لا تستخدم قوى كسور
- تجنب استخدام صيغة الجذر في المقام
- لا يحتوي على ضرب شكلين جذر
- لا يمكن تجذير الأعداد الموجودة تحت الجذر بعد الآن
أحد الاستخدامات العملية لذلك هو امتحانات الاختيار من متعدد. عندما تجد إجابة ولكن إجابتك تختلف عن الخيارات المتاحة ، حاول تبسيطها في صيغة قياسية. نظرًا لأن صانعي الأسئلة يكتبون عادةً إجابات في صيغ قياسية ، افعل الشيء نفسه مع إجاباتك لمطابقة إجاباتهم. في الأسئلة المقالية ، أوامر مثل "تبسيط إجابتك" أو "تبسيط كل الجذور" تعني أنه يجب على الطلاب تنفيذ الخطوات التالية حتى يستوفوا الصيغة القياسية على النحو الوارد أعلاه. يمكن أيضًا استخدام هذه الخطوة لحل المعادلات ، على الرغم من أن بعض أنواع المعادلات يسهل حلها في الصيغ غير القياسية.
خطوة
الخطوة 1. إذا لزم الأمر ، قم بمراجعة القواعد الخاصة بجذور التشغيل والأسس (كلاهما متساوي - الجذور هي قوى الكسور) حيث نحتاجها في هذه العملية
راجع أيضًا قواعد تبسيط كثيرات الحدود والصيغ الكسرية لأننا سنحتاج إلى تبسيطها.
طريقة 1 من 6: المربعات المثالية
الخطوة 1. بسّط كل الجذور التي تحتوي على مربعات كاملة
المربع الكامل هو حاصل ضرب رقم في حد ذاته ، على سبيل المثال 81 ، وهو حاصل ضرب 9 × 9. لتبسيط مربع كامل ، ما عليك سوى إزالة الجذر التربيعي وكتابة الجذر التربيعي للعدد.
- على سبيل المثال ، 121 هو مربع كامل لأن 11 × 11 يساوي 121. لذلك ، يمكنك تبسيط الجذر (121) إلى 11 ، عن طريق إزالة علامة الجذر.
- لتسهيل هذه الخطوة ، ستحتاج إلى تذكر المربعات الكاملة الاثني عشر الأولى: 1 × 1 = 1 ، 2 × 2 = 4 ، 3 × 3 = 9 ، 4 × 4 = 16 ، 5 × 5 = 25 ، 6 × 6 = 36 ، 7 × 7 = 49 ، 8 × 8 = 64 ، 9 × 9 = 81 ، 10 × 10 = 100 ، 11 × 11 = 121 ، 12 × 12 = 144
الخطوة 2. بسّط كل الجذور المحتوية على مكعبات كاملة
المكعب الكامل هو حاصل ضرب رقم في نفسه مرتين ، على سبيل المثال 27 ، وهو حاصل ضرب 3 × 3 × 3. لتبسيط صيغة الجذر لمكعب كامل ، ما عليك سوى إزالة الجذر التربيعي وكتابة الجذر التربيعي من العدد.
على سبيل المثال ، 343 مكعب كامل لأنه حاصل ضرب 7 × 7 × 7. لذا فإن الجذر التكعيبي لـ 343 هو 7
الطريقة 2 من 6: تحويل الكسور إلى جذور
أو تغيير الاتجاه الآخر (يساعد أحيانًا) ، لكن لا تخلط بينهما في نفس عبارة الجذر (5) + 5 ^ (3/2). سنفترض أنك تريد استخدام صيغة الجذر وسنستخدم جذر الرموز (n) للجذر التربيعي و sqrt ^ 3 (n) للجذر التكعيبي.
الخطوة 1. خذ واحدًا لقوة الكسر وقم بتحويله إلى صيغة الجذر ، على سبيل المثال x ^ (a / b) = root إلى أس b لـ x ^ a
إذا كان الجذر التربيعي في صورة كسر ، فحوله إلى الصورة العادية. على سبيل المثال ، الجذر التربيعي (2/3) لـ 4 = الجذر (4) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8
الخطوة 2. حوّل الأسس السالبة إلى كسور ، على سبيل المثال x ^ -y = 1 / x ^ y
تنطبق هذه الصيغة فقط على الأس الثابت والعقلاني. إذا كنت تتعامل مع نموذج مثل 2 ^ x ، فلا تغيره ، حتى إذا كانت المشكلة تشير إلى أن x يمكن أن يكون كسرًا أو رقمًا سالبًا
الخطوه 3. دمج نفس القبيلة وتبسيط الصيغة المنطقية الناتجة.
طريقة 3 من 6: التخلص من الكسور في الجذور
تتطلب الصيغة القياسية أن يكون الجذر عددًا صحيحًا.
الخطوة الأولى. انظر إلى الرقم الموجود أسفل الجذر التربيعي إذا كان لا يزال يحتوي على كسر
إذا كان لا يزال ، …
الخطوة 2. قم بالتغيير إلى كسر يتكون من جذرين باستخدام جذر الهوية (a / b) = sqrt (a) / sqrt (b)
لا تستخدم هذه المطابقة إذا كان المقام سالبًا أو إذا كان متغيرًا قد يكون سالبًا. في هذه الحالة ، بسّط الكسر أولًا
الخطوة 3. بسّط كل مربع كامل من النتيجة
أي تحويل الجذر التربيعي (5/4) إلى الجذر التربيعي (5) / الجذر التربيعي (4) ، ثم تبسيط إلى الجذر التربيعي (5) / 2.
الخطوة 4. استخدم طرق تبسيط أخرى مثل تبسيط الكسور المعقدة ، والجمع بين الحدود المتساوية ، وما إلى ذلك
طريقة 4 من 6: الجمع بين جذور الضرب
الخطوة 1. إذا كنت تضرب صيغة جذر في أخرى ، فجمع الاثنين في جذر تربيعي واحد باستخدام الصيغة:
الجذر التربيعي (أ) * الجذر التربيعي (ب) = الجذر التربيعي (أب). على سبيل المثال ، قم بتغيير root (2) * root (6) إلى root (12).
- الهوية أعلاه ، sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (ab) ، صالحة إذا كان الرقم الموجود أسفل علامة الجذر التربيعي غير سالب. لا تستخدم هذه الصيغة عندما تكون a و b سالبة لأنك سترتكب خطأ جعل الجذر التربيعي (-1) * الجذر التربيعي (-1) = الجذر التربيعي (1). العبارة الموجودة على اليسار تساوي -1 (أو غير محددة إذا لم تستخدم أرقامًا مركبة) بينما العبارة الموجودة على اليمين هي +1. إذا كانت a و / أو b سالبة ، فقم أولاً "بتغيير" العلامة مثل sqrt (-5) = i * sqrt (5). إذا كان النموذج الموجود أسفل علامة الجذر متغيرًا تكون علامته غير معروفة من السياق أو يمكن أن تكون موجبة أو سلبية ، فاتركه كما هو في الوقت الحالي. يمكنك استخدام الهوية الأكثر عمومية ، sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (sgn (a)) * sqrt (sgn (b)) * sqrt (| ab |) التي تنطبق على جميع الأعداد الحقيقية a و b ، لكن عادةً لا تساعد هذه الصيغة كثيرًا لأنها تضيف تعقيدًا لاستخدام وظيفة sgn (Signum).
- هذه الهوية صالحة فقط إذا كانت أشكال الجذور لها نفس الأس. يمكنك ضرب الجذور التربيعية المختلفة مثل الجذر التربيعي (5) * الجذر التربيعي ^ 3 (7) بتحويلها إلى نفس الجذر التربيعي. للقيام بذلك ، قم بتحويل الجذر التربيعي مؤقتًا إلى كسر: الجذر التربيعي (5) * الجذر التربيعي ^ 3 (7) = 5 ^ (1/2) * 7 ^ (1/3) = 5 ^ (3/6) * 7 ^ (2/6) = 125 ^ (1/6) * 49 ^ (1/6). ثم استخدم قاعدة الضرب لضرب الاثنين في الجذر التربيعي لـ 6125.
طريقة 5 من 6: إزالة العامل التربيعي من الجذر
الخطوة 1. تحليل الجذور الناقصة إلى عوامل أولية
العامل هو الرقم الذي عند ضربه في رقم آخر يشكل رقمًا - على سبيل المثال ، 5 و 4 عاملان من 20. لتقسيم الجذور غير الكاملة ، اكتب جميع عوامل الرقم (أو أكبر عدد ممكن ، إذا العدد كبير جدًا) حتى تعثر على مربع كامل.
على سبيل المثال ، حاول إيجاد جميع عوامل 45: 1 و 3 و 5 و 9 و 15 و 45. 9 هو عامل 45 وهو أيضًا مربع كامل (9 = 3 ^ 2). 9 × 5 = 45
الخطوة 2. قم بإزالة جميع المضاعفات التي تكون مربعات كاملة من داخل الجذر التربيعي
9 هو مربع كامل لأنه حاصل ضرب 3 × 3. خذ 9 من الجذر التربيعي واستبدله بـ 3 أمام الجذر التربيعي ، مع ترك 5 داخل الجذر التربيعي. إذا "أعدت" 3 إلى الجذر التربيعي ، اضرب في نفسه لتحصل على 9 ، وإذا ضربت في 5 فستحصل على 45. 3 جذور للعدد 5 طريقة بسيطة للتعبير عن جذر 45.
أي ، الجذر التربيعي (45) = الجذر التربيعي (9 * 5) = الجذر التربيعي (9) * الجذر التربيعي (5) = 3 * الجذر التربيعي (5)
الخطوة الثالثة. أوجد المربع الكامل في المتغير
الجذر التربيعي لـ a تربيع هو | a |. يمكنك تبسيط هذا إلى "أ" فقط إذا كان المتغير المعروف موجبًا. الجذر التربيعي لـ a مرفوعًا للقوة الأسية 3 عند تقسيمه إلى الجذر التربيعي لـ a تربيع مضروبًا في a - تذكر أن الأسس تُجمع عندما نضرب عددين في القوة a ، لذا فإن a تربيع في a يساوي a أس القوة الثالثة.
إذن ، المربع الكامل في الصورة a تكعيب هو مربع a
الخطوة 4. احذف المتغير الذي يحتوي على المربع الكامل من الجذر التربيعي
الآن ، خذ a تربيع من الجذر التربيعي وغيره إلى | a |. الشكل البسيط للجذر a مرفوعًا للقوة 3 هو | a | جذر أ.
الخطوة 5. اجمع الحدود المتساوية وبسط كل جذور نتائج الحساب
طريقة 6 من 6: ترشيد المقام
الخطوة 1. تتطلب الصيغة القياسية أن يكون المقام عددًا صحيحًا (أو متعدد الحدود إذا كان يحتوي على متغير) بقدر الإمكان
-
إذا كان المقام يتكون من حد واحد تحت علامة الجذر ، مثل […] / الجذر (5) ، فاضرب كل من البسط والمقام في ذلك الجذر للحصول على […] * sqrt (5) / sqrt (5) * sqrt (5) = […] * الجذر (5) / 5.
للجذور التكعيبية أو أعلى ، اضرب في الجذر المناسب بحيث يكون المقام منطقيًا. إذا كان المقام هو الجذر ^ 3 (5) ، اضرب البسط والمقام في sqrt ^ 3 (5) ^ 2
-
إذا كان المقام يتكون من إضافة أو طرح اثنين من الجذور التربيعية مثل الجذر التربيعي (2) + الجذر التربيعي (6) ، فاضرب المحدد والمقام في مرافقهما ، وهو نفس الشكل ولكن مع الإشارة المعاكسة. ثم […] / (root (2) + root (6)) = […] (root (2) -root (6)) / (root (2) + root (6)) (root (2) -root (6)). ثم استخدم صيغة الهوية للفرق بين مربعين [(a + b) (ab) = a ^ 2-b ^ 2] لعقلنة المقام ، للتبسيط (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = الجذر التربيعي (2) ^ 2 - الجذر التربيعي (6) ^ 2 = 2-6 = -4.
- ينطبق هذا أيضًا على القواسم مثل 5 + sqrt (3) لأن جميع الأعداد الصحيحة هي جذور لأعداد صحيحة أخرى. [1 / (5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 ^ 2-sqrt (3) ^ 2) = (5-sqrt (3)) / (25-3) = (5-sqrt (3)) / 22]
- تنطبق هذه الطريقة أيضًا على إضافة الجذور مثل sqrt (5) -sqrt (6) + sqrt (7). إذا قمت بتجميعها في (sqrt (5) -sqrt (6)) + sqrt (7) وضربتها في (sqrt (5) -sqrt (6)) - sqrt (7) ، فإن الإجابة ليست في شكل منطقي ، ولكن لا يزال في a + b * root (30) حيث a و b أرقام منطقية بالفعل. ثم كرر العملية مع اقتران a + b * sqrt (30) و (a + b * sqrt (30)) (a-b * sqrt (30)) سيكون منطقيًا. في الأساس ، إذا كان بإمكانك استخدام هذه الحيلة لإزالة علامة جذر واحدة في المقام ، فيمكنك تكرارها عدة مرات لإزالة كل الجذور.
- يمكن استخدام هذه الطريقة أيضًا مع القواسم التي تحتوي على جذر أعلى ، مثل الجذر الرابع لـ 3 أو الجذر السابع للرقم 9. اضرب البسط والمقام بمرافق المقام. لسوء الحظ ، لا يمكننا الحصول على مرافق المقام مباشرةً ومن الصعب القيام بذلك. يمكننا العثور على الإجابة في كتاب الجبر حول نظرية الأعداد ، لكنني لن أخوض في ذلك.
الخطوة 2. الآن المقام في صورة عقلانية ، لكن يبدو البسط في حالة من الفوضى
الآن كل ما عليك فعله هو ضربه في مرافق المقام. انطلق واضرب كما نضرب كثيرات الحدود. تحقق لمعرفة ما إذا كان يمكن حذف أي مصطلحات أو تبسيطها أو دمجها ، إن أمكن.
الخطوة 3. إذا كان المقام عددًا صحيحًا سالبًا ، اضرب كلًا من البسط والمقام في -1 لجعله موجبًا
نصائح
- يمكنك البحث عبر الإنترنت عن المواقع التي يمكن أن تساعد في تبسيط أشكال الجذر. ما عليك سوى كتابة المعادلة بعلامة الجذر ، وبعد الضغط على Enter ، ستظهر الإجابة.
- لأسئلة أبسط ، لا يجوز لك استخدام جميع الخطوات الواردة في هذه المقالة. للأسئلة الأكثر تعقيدًا ، قد تحتاج إلى استخدام عدة خطوات أكثر من مرة. استخدم الخطوات "البسيطة" عدة مرات ، وتحقق لمعرفة ما إذا كانت إجابتك تتناسب مع معايير الصياغة القياسية التي ناقشناها سابقًا. إذا كانت إجابتك في الصيغة القياسية ، فقد انتهيت ؛ ولكن إذا لم يكن الأمر كذلك ، فيمكنك التحقق من إحدى الخطوات المذكورة أعلاه لمساعدتك في إنجازه.
- تنطبق معظم الإشارات إلى "الصيغة القياسية الموصى بها" لشكل الجذور أيضًا على الأعداد المركبة (i = root (-1)). حتى إذا احتوت العبارة على حرف "i" بدلاً من الجذر ، تجنب القواسم التي لا تزال تحتوي على i قدر الإمكان.
- تفترض بعض الإرشادات الواردة في هذه المقالة أن جميع الجذور عبارة عن مربعات. تنطبق نفس المبادئ العامة على جذور القوى العليا ، على الرغم من أن بعض الأجزاء (خاصة ترشيد المقام) قد يكون من الصعب جدًا العمل بها. قرر بنفسك الشكل الذي تريده ، مثل sqr ^ 3 (4) أو sqr ^ 3 (2) ^ 2. (لا أتذكر الشكل المقترح عادة في الكتب المدرسية).
- تستخدم بعض الإرشادات الواردة في هذه المقالة كلمة "صيغة قياسية" لوصف "النموذج العادي". الفرق هو أن الصيغة القياسية تقبل فقط الشكل 1 + sqrt (2) أو sqrt (2) +1 وتعتبر النماذج الأخرى غير قياسية ؛ تفترض الصيغة البسيطة أنك ، القارئ ، ذكي بما يكفي لرؤية "التشابه" بين هذين الرقمين على الرغم من أنهما غير متطابقين في الكتابة (تعني كلمة "نفس" في الخاصية الحسابية (الإضافة التبادلية) ، وليس الخاصية الجبرية (الجذر). (2) هو جذر غير سالب لـ x ^ 2-2)). نأمل أن يفهم القراء الإهمال الطفيف في استخدام هذا المصطلح.
- إذا بدا أي من القرائن غامضًا أو متناقضًا ، فقم بتنفيذ جميع الخطوات التي لا لبس فيها والمتسقة ، ثم اختر الشكل الذي تفضله.
