3 طرق لتبسيط التعبيرات الجبرية

2024 مؤلف: Jason Gerald | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-15 08:08

تعلم كيفية تبسيط التعبيرات الجبرية هو أحد مفاتيح إتقان الجبر الأساسي والأداة الأكثر فائدة التي يحتاجها أي عالم رياضيات. يسمح التبسيط لعلماء الرياضيات بتحويل التعبيرات المعقدة والطويلة و / أو الفردية إلى تعبيرات مكافئة أبسط أو أسهل. من السهل جدًا تعلم مهارات التبسيط الأساسية - حتى بالنسبة لأولئك الذين يكرهون الرياضيات. باتباع بعض الخطوات البسيطة ، من الممكن تبسيط العديد من أنواع التعبيرات الجبرية الأكثر استخدامًا ، دون استخدام أي معرفة خاصة بالرياضيات. تحقق من الخطوة 1 لتبدأ!

خطوة

فهم المفاهيم الهامة

الخطوة 1. جمّع المصطلحات المتشابهة وفقًا لمتغيراتها وقوىها

في الجبر ، يكون للمصطلحات المتشابهة نفس المتغير ، بنفس القوة. بمعنى آخر ، لكي يكون هناك حدان متساويان ، يجب أن يكون لهما نفس المتغير ، أو لا يوجد متغير على الإطلاق ، ولكل متغير نفس القوة ، أو لا يحتوي على أس. ترتيب المتغيرات من حيث المصطلحات ليس مهمًا.

على سبيل المثال ، 3x² و 4x² متشابهان لأن كلاهما لهما متغير x بقوة المربع. ومع ذلك ، x و x² ليست مثل المصطلحات لأن كل حد له متغير x بقوة مختلفة. نفس الشيء تقريبًا ، -3yx و 5 xz ليسا متشابهين لأن كل مصطلح له متغير مختلف.

الخطوة 2. حلل العوامل بكتابة الرقم على أنه حاصل ضرب العاملين

التحليل إلى عوامل هو مفهوم كتابة رقم معين باعتباره حاصل ضرب عاملين. يمكن أن تحتوي الأعداد على أكثر من مجموعة واحدة من العوامل - على سبيل المثال ، يمكن الحصول على 12 من 1 × 12 و 2 × 6 و 3 × 4 ، لذلك يمكننا القول أن 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 12 عوامل من 12 طريقة أخرى لتخيلها هي أن عوامل العدد هي الأرقام التي تقسم العدد الصحيح.

• على سبيل المثال ، إذا أردنا تحليل 20 ، فيمكننا كتابته على هذا النحو 4 × 5.
• لاحظ أنه يمكن أيضًا تحليل المصطلحات المتغيرة إلى عوامل. -20x ، على سبيل المثال ، يمكن كتابتها كـ 4 (5x).
• لا يمكن تحليل الأعداد الأولية إلى عوامل لأنه لا يمكن تقسيمها إلا على نفسها و 1.

الخطوة 3. استخدم الاختصار KaPaK BoTaK لتذكر ترتيب العمليات

في بعض الأحيان ، يؤدي تبسيط التعبير إلى حل العملية في المعادلة حتى تصبح غير قابلة للتطبيق. في هذه الحالات ، من المهم جدًا تذكر ترتيب العمليات حتى لا تحدث أخطاء حسابية. سيساعدك الاختصار KaPaK BoTaK على تذكر ترتيب العمليات - تشير الأحرف إلى أنواع العمليات التي يجب إجراؤها بالترتيب:

• ك يفشل
• ص مصعد
• ك علي
• ب تكرارا
• تي يضيف
• ك جمبري

طريقة 1 من 3: دمج الشروط المتشابهة

الخطوة 1. اكتب معادلتك

يمكن غالبًا حل أبسط المعادلات الجبرية ، التي تتضمن عددًا قليلاً من المصطلحات المتغيرة مع معاملات عدد صحيح ولا تحتوي على كسور أو جذور أو ما إلى ذلك ، في خطوات قليلة فقط. بالنسبة لمعظم مسائل الرياضيات ، فإن الخطوة الأولى لتبسيط المعادلة هي كتابتها!

كمثال ، في الخطوات القليلة التالية ، نستخدم التعبير 1 + 2 س - 3 + 4 س.

الخطوة الثانية: تحديد القبائل المتشابهة

بعد ذلك ، ابحث عن الحدود المتشابهة في معادلتك. تذكر أن الحدود المتشابهة لها نفس المتغير والأس.

على سبيل المثال ، دعنا نحدد الحدود المتشابهة في معادلتنا 1 + 2x - 3 + 4x. 2x و 4x لهما نفس المتغير بنفس القوة (في هذه الحالة ، x ليس له أس). أيضًا ، 1 و -3 تشبه الحدود لأنها لا تحتوي على متغيرات. إذن في معادلتنا ، 2x و 4x و 1 و -3 هي قبائل متشابهة.

الخطوة 3. اجمع بين الشروط المتشابهة

الآن بعد أن حددت الحدود المتشابهة ، يمكنك دمجها لتبسيط المعادلة. أضف المصطلحات (أو اطرح في حالة المصطلحات السالبة) لتقليل مجموعة المصطلحات التي لها نفس المتغير والأس إلى حد واحد متساوٍ.

• دعنا نضيف مصطلحات متشابهة في مثالنا.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

الخطوة 4. قم بإنشاء معادلة أبسط من الحدود المبسطة

بعد الجمع بين الحدود المتشابهة ، قم بعمل معادلة من مجموعة المصطلحات الجديدة الأصغر. ستحصل على معادلة أبسط ، تحتوي على مصطلح واحد للمجموعات المختلفة من المتغيرات والقوى في المعادلة الأصلية. هذه المعادلة الجديدة تعادل المعادلة الأصلية.

في مثالنا ، الحدان المبسطان هما 6x و -2 ، لذا فإن المعادلة الجديدة هي 6x - 2. هذه المعادلة البسيطة تعادل المعادلة الأصلية (1 + 2x - 3 + 4x) ، لكنها أقصر وأسهل في التعامل معها. من السهل أيضًا تحليلها ، وهو ما سنلقي نظرة عليه أدناه ، وهي مهارة تبسيط مهمة أخرى.

الخطوة 5. اتبع ترتيب العمليات عند دمج المصطلحات المتشابهة

في معادلات بسيطة جدًا مثل تلك التي عملنا عليها في المثال السابق ، يكون تحديد المصطلحات المتشابهة أمرًا سهلاً. ومع ذلك ، في المعادلات الأكثر تعقيدًا ، مثل التعبيرات التي تتضمن المصطلحات الجبرية ، والكسور ، والجذور ، قد لا تكون المصطلحات التي يمكن دمجها مرئية بوضوح. في هذه الحالات ، اتبع ترتيب العمليات ، ونفذ العمليات على المصطلحات الموجودة في تعبيرك حسب الحاجة حتى تبقى عمليتا الجمع والطرح.

• على سبيل المثال ، لنستخدم المعادلة 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 - 3x. سيكون من الخطأ اعتبار 3x و 2x على الفور حدًا متشابهًا ودمجهما لأن الأقواس في التعبير تشير إلى أنه يتعين علينا إجراء عمليات أخرى أولاً. أولاً ، نجري عمليات حسابية على التعبير بترتيب العمليات للحصول على المصطلحات التي يمكننا استخدامها. انظر ما يلي:

  • 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8-3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8-3x
  • 15x - 5 + س² + 8 - 3x. الآن ، بما أن العمليتين المتبقيتين هما الجمع والطرح ، فيمكننا الجمع بين الحدود المتشابهة.
  • x² + (15x - 3x) + (8-5)
  • x² + 12x + 3

طريقة 2 من 3: العوملة

الخطوة الأولى. حدد العامل المشترك الأكبر في التعبير

التحليل إلى عوامل هو طريقة لتبسيط التعبير عن طريق إزالة العوامل المتشابهة في جميع المصطلحات المتشابهة في التعبير. للبدء ، أوجد العامل المشترك الأكبر في كل الحدود - بمعنى آخر ، أكبر رقم يقسم كل حدود التعبير كله.

• لنستخدم معادلة 9x² + 27x - 3. لاحظ أن كل حد في هذه المعادلة يقبل القسمة على 3. نظرًا لأن المصطلحات لا تقبل القسمة على أي عدد أكبر ، يمكننا القول أن

  الخطوه 3. هو العامل المشترك الأكبر لدينا.

الخطوة 2. قسّم حدود التعبير على العامل المشترك الأكبر

بعد ذلك ، قسّم كل حد في معادلتك على أكبر عامل مشترك وجدته للتو. سيكون لشروط حاصل القسمة معامل أصغر من المعادلة الأصلية.

• دعنا نحلل معادلتنا بأكبر عامل مشترك لها ، وهو 3. للقيام بذلك ، سنقسم كل حد على 3.

  • 9x²/ 3 = 3x²
  • 27x / 3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • وهكذا ، فإن تعبيرنا الجديد هو 3x² + 9x - 1.

الخطوة 3. اكتب المقدار في صورة حاصل ضرب العامل المشترك الأكبر في الحدود المتبقية

تعبيرك الجديد لا يعادل التعبير الأصلي ، لذا سيكون من الخطأ القول إن التعبير قد تم تبسيطه. لكي نجعل المقدار الجديد مساويًا للأصل ، يجب أن ندرج حقيقة أن المقدار مقسوم على العامل المشترك الأكبر. ضع تعبيرك الجديد بين قوسين واكتب العامل المشترك الأكبر للمعادلة الأصلية كمعامل التعبير بين قوسين.

على سبيل المثال المعادلة ، 3x² + 9x - 1 ، يمكننا وضع التعبير بين قوسين وضربه في أكبر عامل مشترك في المعادلة الأصلية للحصول على 3 (3x² + 9x - 1). هذه المعادلة تعادل المعادلة الأصلية ، 9x² + 27 × - 3.

الخطوة 4. استخدم التحليل لتبسيط الكسور

قد تتساءل الآن عن سبب استخدام التحليل ، حتى بعد إزالة العامل المشترك الأكبر ، يجب ضرب التعبير الجديد مرة أخرى بهذا العامل. في الواقع ، يسمح التحليل لعلماء الرياضيات بأداء حيل مختلفة لتبسيط التعبيرات. واحدة من أسهل حيله تستفيد من حقيقة أن ضرب البسط والمقام لكسر في نفس العدد يمكن أن ينتج عنه كسور متساوية. انظر ما يلي:

• قل تعبير المثال الأولي ، 9x² + 27x - 3 هو المُحدد الكمي للكسر الأكبر بحيث يكون 3 هو البسط. سيبدو الكسر كما يلي: (9x² + 27 × - 3) / 3. يمكننا استخدام التحليل لتبسيط الكسور.

  • لنعوض بصيغة التحليل للتعبير الأصلي عن التعبير الموجود في البسط: (3 (3x² + 9x - 1)) / 3
  • لاحظ أن معامل كل من البسط والمقام هو 3. بقسمة البسط والمقام على 3 ، نحصل على: (3x² + 9x - 1) / 1.
  • نظرًا لأن أي كسر مقامه 1 يعادل الحدود الموجودة في البسط ، يمكننا القول إنه يمكن تبسيط الكسر الأولي ليصبح 3x² + 9x - 1.

طريقة 3 من 3: تطبيق مهارات تبسيط إضافية

الخطوة 1. بسّط الكسور بالقسمة على نفس العوامل

كما هو مذكور أعلاه ، إذا كان لبسط المعادلة ومقامها نفس العوامل ، فيمكن حذف هذه العوامل تمامًا في الكسر. في بعض الأحيان ، سيتطلب الأمر تحليل البسط أو المقام أو كليهما (كما هو الحال في المثال السابق) بينما تكون العوامل نفسها في بعض الأحيان واضحة. لاحظ أنه من الممكن أيضًا قسمة حدود البسط على المعادلة في المقام واحدًا تلو الآخر للحصول على تعبير بسيط.

• دعنا نعمل على مثال لا يتطلب العوملة. للكسور (5x² + 10x + 20) / 10 ، يمكننا قسمة كل حد في البسط على 10 للتبسيط ، حتى لو كان المعامل 5 في 5x² ليس أكبر من 10 وبالتالي 10 ليس عاملاً.

  إذا فعلنا ذلك ، فسنحصل على ((5x²) / 10) + x + 2. إذا أردنا ، يمكننا إعادة كتابة الحد الأول كـ (1/2) x² لذلك نحصل على (1/2) x² + س + 2.

الخطوة 2. استخدم العوامل التربيعية لتبسيط الجذور

يسمى التعبير الموجود أسفل علامة الجذر بالتعبير الجذر. يمكن تبسيط هذا التعبير عن طريق تحديد العوامل التربيعية (العوامل التي هي مربعات الأعداد الصحيحة) وتنفيذ عملية الجذر التربيعي بشكل منفصل لإزالتها من تحت علامة الجذر التربيعي.

• لنقم بمثال بسيط - (90). إذا اعتقدنا أن 90 هو حاصل ضرب عامليها 9 و 10 ، فيمكننا أخذ الجذر التربيعي لـ 9 وهو العدد الصحيح 3 وإزالته من علامة الجذر. بعبارة أخرى:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

الخطوة 3. جمع الأس عند ضرب اثنين من الأس ؛ اطرح عند القسمة

تتطلب بعض التعبيرات الجبرية ضرب أو تقسيم شروط القدرة. بدلًا من حساب أو قسمة كل أس يدويًا ، ما عليك سوى إضافة الأس عند الضرب والطرح عند القسمة لتوفير الوقت. يمكن أيضًا استخدام هذا المفهوم لتبسيط التعبيرات المتغيرة.

• على سبيل المثال ، دعنا نستخدم التعبير 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/ س¹⁵). في أي حالة تتطلب عمليات ضرب أو قسمة الأسس ، سنطرح الأسس أو نضيفها ، على التوالي ، لإيجاد المصطلح البسيط بسرعة. انظر ما يلي:

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/ س¹⁵)
  • (6 × 8) ×^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48 ضعفًا⁷ + س²

• للحصول على شرح لكيفية عملها ، انظر أدناه:

  • ضرب الحدود في الأس هو في الواقع مثل ضرب الحدود وليس في الأسس الطويلة. على سبيل المثال ، لأن x³ = x × x × x و x ⁵ = س × س × س × × × س ، س³ × س⁵ = (س × س × س) × (س × × × × × × ×) ، أو س⁸.
  • نفس الشيء تقريبًا ، فإن قسمة الأس هو مثل تقسيم الحدود ، وليس الأسس الطويلة. x⁵/ س³ = (س × × × × × × ×) / (× × × × ×). نظرًا لأنه يمكن شطب كل حد في البسط من خلال إيجاد نفس الحد في المقام ، فلا يتبقى سوى اثنين x في البسط ولا يوجد شيء في الأسفل ، مما يعطي الإجابة س².

نصائح

• تذكر دائمًا أنه عليك تخيل أن هذه الأرقام لها إشارات إيجابية وسلبية. يتوقف الكثير من الناس عن التفكير في أي علامة يجب أن أضعها هنا؟
• طلب المساعدة إذا كنت في حاجة إليها!
• إن تبسيط التعبيرات الجبرية ليس بالأمر السهل ، ولكن بمجرد فهمه ، ستستخدمه لبقية حياتك.

تحذير

• ابحث دائمًا عن القبائل المتشابهة ولا تنخدع بالرتبة.
• تأكد من عدم إضافة أرقام أو صلاحيات أو عمليات لا ينبغي أن تكون عن غير قصد.