تصف نظرية فيثاغورس أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية بطريقة أنيقة وعملية ، لذلك لا تزال هذه النظرية مستخدمة على نطاق واسع حتى يومنا هذا. تنص هذه النظرية على أنه بالنسبة لأي مثلث قائم الزاوية ، فإن مجموع مربعات الأضلاع غير المائلة للزوايا يساوي مربع الوتر. بمعنى آخر ، بالنسبة لمثلث قائم الزاوية مع أضلاعه المتعامدة a و b والوتر c ، أ2 + ب2 = ج2.
نظرية فيثاغورس هي إحدى الركائز الأساسية للهندسة الأولية. هناك عدد لا يحصى من التطبيقات التي تستخدم هذه النظرية ، على سبيل المثال ، لتسهيل العثور على المسافة بين نقطتين على مستوى إحداثيات.
خطوة
طريقة 1 من 2: إيجاد أضلاع مثلث قائم الزاوية
الخطوة الأولى: تأكد من أن مثلثك هو مثلث قائم الزاوية
تنطبق نظرية فيثاغورس فقط على المثلثات القائمة ، لذا ، قبل المتابعة ، من المهم جدًا التأكد من أن مثلثاتك تتوافق مع خصائص المثلثات القائمة. لحسن الحظ ، هناك عامل واحد يمكن أن يشير إلى أن مثلثك هو مثلث قائم الزاوية. يجب أن يكون للمثلث زاوية واحدة 90 درجة.
كعلامة ، غالبًا ما يتم تمييز المثلثات القائمة بمربعات صغيرة لتحديد زوايا 90 درجة ، وليس باستخدام "منحنيات" منحنية. ابحث عن هذه العلامة المحددة في زاوية المثلث
الخطوة الثانية: اكتب المتغيرات a و b و c لأضلاع المثلث
في نظرية فيثاغورس ، يمثل المتغيران أ و ب الأضلاع المتقابلة عند المثلث القائم ، بينما يمثل المتغير ج الوتر - الضلع الطويل المقابل للزاوية القائمة. لذا ، لتبدأ ، قم بتمييز الجوانب القصيرة للمثلث بالمتغيرين a و b (لا يهم إذا قمت بتبديلهما) ، وقم بتمييز الوتر بالمتغير c.
الخطوة الثالثة: حدد أي جانب من المثلث تريد حله
تسمح نظرية فيثاغورس لعلماء الرياضيات بإيجاد طول أي ضلع في مثلث قائم الزاوية طالما أنهم يعرفون أطوال ضلعين آخرين. حدد الجانب غير المعروف - أ ، ب ، و / أو ج. إذا كان طول أحد جوانبك غير معروف ، فأنت جاهز للمضي قدمًا.
- على سبيل المثال ، نعلم أن طول وتر المثلث يساوي 5 وطول أحد الضلعين الآخرين 3 ، لكننا لسنا متأكدين من طول الضلع الثالث. في هذه الحالة ، نعلم أننا نبحث عن طول الضلع الثالث ، وبما أننا نعرف أطوال الضلعين الآخرين ، يمكننا حله! سنعمل على حل هذه المشكلة بالخطوات التالية.
- إذا كنت لا تعرف أطوال ضلعين ، يجب أن تعرف أحد الأضلاع لتتمكن من استخدام نظرية فيثاغورس. يمكن أن تساعدك الدوال المثلثية الأساسية إذا كنت تعرف جانبًا واحدًا من المثلث غير مائل.
الخطوة 4. أدخل القيم ذات الوجهين التي تعرفها بالفعل في المعادلة
أدخل أطوال أضلاع المثلث في المعادلة أ2 + ب2 = ج2. تذكر أن أ و ب ضلعان غير منحدرين ، بينما ج هو الوتر.
في مثالنا ، نعرف طول أحد الأضلاع والوتر (3 و 5) ، فتصبح المعادلة 3² + ب² = 5²
الخطوة 5. مربع
لحل المعادلة ، ابدأ بتربيع الأضلاع المعروفة. بدلاً من ذلك ، إذا وجدت هذا أسهل ، يمكنك ترك أطوال أضلاعك مربعة ، وتربيعها لاحقًا.
-
في مثالنا ، سنقوم بتربيع 3 و 5 حتى نحصل على
الخطوة 9. دا
الخطوة 25.. يمكننا كتابة المعادلة بالصورة 9 + ب² = 25.
الخطوة 6. انقل المتغير المجهول إلى الجانب الآخر من المعادلة
إذا لزم الأمر ، استخدم العمليات الجبرية الأساسية لجعل المتغير المجهول ينتقل إلى الجانب الآخر من المعادلة ومربع المتغيرين الآخرين إلى الجانب الآخر. إذا كنت تريد إيجاد طول الوتر ، فإن c موجود بالفعل على الجانب الآخر من المعادلة ، لذلك لا يتعين عليك فعل أي شيء لتحريكه.
في مثالنا ، المعادلة الحالية هي 9 + b² = 25. لتحريك b² ، اطرح طرفي المعادلة بمقدار 9 ، وبالتالي تكون النتيجة ب² = 16
الخطوة 7. الجذر التربيعي لطرفي المعادلة
الآن يوجد متغير واحد فقط تربيع في جانب ورقم في الجانب الآخر. الجذر التربيعي لكلا الطرفين لإيجاد طول الضلع المجهول.
-
في مثالنا ، b² = 16 ، بأخذ الجذر التربيعي للطرفين نحصل على b = 4. وبالتالي ، يمكننا القول أن طول الضلع المجهول للمثلث هو
الخطوة 4..
الخطوة 8. استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد أضلاع مثلث قائم الزاوية
السبب في استخدام نظرية فيثاغورس على نطاق واسع اليوم هو أنه يمكن تطبيقها على عدد لا يحصى من المواقف العملية. تعلم كيفية معرفة المثلثات القائمة في الحياة الواقعية - في أي موقف يلتقي فيه جسمان أو خطان مستقيمان بزاوية قائمة ويجمع الكائن أو الخط الثالث بين الكائنين أو الخطين قطريًا ، ثم يمكنك استخدام نظرية فيثاغورس للعثور على طول الضلع الآخر ، إذا كانت أطوال الجانبين الآخرين معروفة.
-
لنجرب مثالًا حقيقيًا أصعب قليلاً. سلم يتكئ على مبنى. المسافة من أسفل الدرج إلى الحائط 5 أمتار. يصل ارتفاع الدرج إلى 20 مترا. ما هو طول السلم؟
-
5 أمتار من الحائط وارتفاع 20 مترًا تخبرنا بأطوال أضلاع المثلث. نظرًا لأن الجدار والأرض (المفترض) يشكلان زاوية قائمة ويتم دعم السلم قطريًا على الحائط ، يمكن اعتبار هذا الترتيب مثلثًا قائمًا بطول جانبي أ = 5 و ب = 20. طول السلم هو الوتر ، لذلك فإن قيمة c غير معروفة. دعنا نستخدم نظرية فيثاغورس:
- أ² + ب² = ج²
- (5) ² + (20) ² = ج²
- 25 + 400 = ج²
- 425 = ج²
- الجذر (425) = ج
- ج = 20.6. الطول التقريبي للسلم 20.6 مترا.
-
الطريقة 2 من 2: حساب المسافة بين نقطتين في المستوى X-Y
الخطوة 1. أوجد نقطتين في المستوى X-Y
يمكن استخدام نظرية فيثاغورس بسهولة لحساب مسافة الخط المستقيم بين نقطتين في المستوى X-Y. كل ما تحتاج إلى معرفته هو إحداثيات x و y للنقطتين. عادة ، تتم كتابة هذه الإحداثيات معًا في شكل (س ، ص).
لإيجاد المسافة بين هاتين النقطتين ، سنعتبر كل نقطة على أنها إحدى الزوايا غير القائمة في المثلث القائم. سيؤدي القيام بذلك إلى تسهيل العثور على طولي الضلعين أ وب ، ثم حساب الوتر ج ، وهو المسافة بين النقطتين
الخطوة الثانية. ارسم نقطتين في الصورة
في مستوى X-Y العادي ، تمثل كل نقطة (x ، y) ، x إحداثيًا أفقيًا وتمثل y إحداثيًا رأسيًا. يمكنك إيجاد المسافة بين النقطتين دون رسمها ، لكن القيام بذلك سيعطيك صورة مرئية يمكنك استخدامها لمعرفة ما إذا كانت إجابتك صحيحة.
الخطوة 3. أوجد طول الضلع غير المنحدر من المثلث
باستخدام النقطتين باعتبارهما زاويتين للمثلث المجاور للوتر ، أوجد طولي ضلعي أ وب في المثلث. يمكنك القيام بذلك باستخدام صورة أو باستخدام الصيغة | x1 - س2| للجانب الأفقي و | ص1 - ذ2| للجانب الرأسي مع (x1، ذ1) كنقطة أولى و (x2، ذ2) كنقطة ثانية.
-
دع النقطتين (6 ، 1) و (3 ، 5). طول الضلع الأفقي لمثلثنا هو:
- | x1 - س2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
الخطوه 3.
-
طول الضلع الرأسي:
- | ذ1 - ذ2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
الخطوة 4.
- إذن ، في المثلث الأيمن ، الضلع أ = 3 والضلع ب = 4.
الخطوة 4. استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الوتر
المسافة بين نقطتين هي طول وتر المثلث الذي وجدت ضلعيه للتو. استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الوتر ، حيث a هو طول الضلع الأول و b هو طول الضلع الثاني.
-
في مثالنا ، نستخدم النقطتين (3 ، 5) و (6 ، 1) التي أطوال ضلعها 3 و 4 ، لذلك يمكننا إيجاد الوتر على النحو التالي:
-
- (3) ² + (4) ² = ج²
- ج = جذر (9 + 16)
- ج = جذر (25)
-
ج = 5. المسافة بين (3 ، 5) و (6 ، 1) هي
الخطوة الخامسة..
-
نصائح
-
الوتر دائمًا:
- مقابل الزاوية اليمنى (بدون لمس الزاوية اليمنى)
- أطول ضلع في مثلث قائم الزاوية
- تسمى ج في نظرية فيثاغورس
- الجذر (x) يعني الجذر التربيعي لـ x.
- تذكر أن تتحقق دائمًا من إجاباتك. إذا بدت إجابتك خاطئة ، حاول مرة أخرى وحاول مرة أخرى.
- إذا لم يكن المثلث مثلثًا قائمًا ، فأنت بحاجة إلى معلومات إضافية ، وليس فقط أطوال الضلعين الآخرين.
- طريقة أخرى للتحقق - الضلع الأطول هو المقابل للزاوية الأكبر والأقصر هو المقابل للزاوية الأصغر.
- الأرقام هي المفتاح لكتابة القيم الصحيحة لـ a و b و c. إذا كنت تعمل على مشكلة قصة ، فتأكد من كتابة المشكلة في شكل الصورة أولاً.
- إذا كنت تعرف طول ضلع واحد فقط ، فإن نظرية فيثاغورس لا تعمل. جرب استخدام حساب المثلثات (sin، cos، tan) أو النسب 30-60-90 / 45-45-90.
