كيفية حل مشاكل الجذر التربيعي (بالصور)

2024 مؤلف: Jason Gerald | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-15 08:08

في حين أنه قد يبدو شاقًا في بعض الأحيان ، إلا أن مشكلة الجذر التربيعي ليست صعبة الحل في الواقع. يمكن عادةً حل مسائل الجذر التربيعي البسيطة بنفس سهولة حل مسائل الضرب والقسمة الأساسية. بالنسبة للأسئلة الأكثر تعقيدًا ، يتطلب الأمر القليل من الجهد الإضافي. ولكن مع النهج الصحيح ، يمكن حل أي مشكلة صعبة. من خلال هذه المقالة سنساعدك في حل مشاكل الجذر التربيعي في بضع خطوات سهلة.

خطوة

جزء 1 من 3: فهم المربعات والجذور التربيعية

الخطوة 1. المربع هو الرقم مضروبًا في الرقم نفسه

لفهم الجذر التربيعي ، من الجيد أن تفهم معنى المربع أولاً. ببساطة ، المربع هو رقم مضروب في الرقم نفسه. على سبيل المثال ، 3 تربيع هي 3 في 3 = 9 ، و 9 تربيع تساوي 9 في 9 = 81. ويمثل المربع الصغير 2 في أعلى يمين الرقم تربيع - على النحو التالي: 3², 9², 100²، إلخ.

حاول تربيع بعض الأرقام الأخرى لاختبار هذا المفهوم. تذكر أن تربيع الرقم هو ضرب الرقم في نفسه. يمكنك حتى تربيع الأعداد السالبة. ستكون النتيجة دائمًا رقمًا موجبًا. على سبيل المثال ، -8² = -8 × -8 = 64.

الخطوة 2. الجذر التربيعي هو مقلوب المربع

رمز الجذر التربيعي (√ ، المعروف أيضًا باسم الرمز "الجذري") هو في الأساس عكس الرمز ². عندما تجد جذريًا ، اسأل نفسك: ما هو الرقم ، إذا تربيع ، الذي سينتج الرقم داخل الجذر؟ على سبيل المثال ، إذا نظرت إلى √ (9) ، فابحث عن العدد الذي يكون عند تربيعه تسعة. إذن الجواب هو "ثلاثة" لأن 3² = 9.

• كمثال آخر ، لنحاول إيجاد الجذر التربيعي لـ 25 (√ (25)). أي أننا نبحث عن رقم يكون الناتج عند تربيعه 25. لأن 5² = 5 × 5 = 25 ، ثم (25) =

  الخطوة الخامسة..

• يمكن أيضًا اعتبار الجذر التربيعي "تراجعًا" عن المربع. على سبيل المثال ، إذا أردنا إيجاد الجذر التربيعي لـ 64 (64) ، فكر في 64 على أنه 8². بما أن رمز الجذر التربيعي "ينفي" بشكل أساسي الرمز التربيعي ، لذلك (64) = (8²) =

  الخطوة 8..

الخطوة 3. تعرف على الفرق بين المربعات الكاملة والمربعات الناقصة

حتى الآن ، كانت نتائج حسابات الجذر التربيعي لدينا أعدادًا صحيحة. الأسئلة التي ستواجهها لاحقًا لن تكون بهذه السهولة ، ستكون هناك أسئلة بإجابات عدد عشري مع بضعة أرقام خلف الفاصلة. الأعداد التي يتم تقريبها بعد التربيع (أي ليست الأعداد الكسرية أو العشرية) يشار إليها أيضًا باسم "المربعات الكاملة". كل الأمثلة السابقة (9 و 25 و 64) هي مربعات كاملة لأنها إذا كانت مربعة ، فالنتيجة هي عدد صحيح (3 و 5 و 8).

من ناحية أخرى ، فإن الأرقام التي لم يتم تقريبها بعد تربيعها هي "مربعات غير كاملة". عادة ، بعد تربيع النتيجة هي رقم كسري أو عشري. في بعض الأحيان تبدو الأرقام معقدة للغاية ، مثل (13) = 3, 605551275464…

الخطوة 4. احفظ مربع الأرقام من 1 إلى 12

كما تعلم بالفعل ، فإن تربيع رقم مربع كامل أمر سهل للغاية. يمكن أن يكون حفظ مربعات الأرقام من 1 إلى 12 مفيدًا جدًا لأن هذه الأرقام ستظهر كثيرًا في المشكلة. وبالتالي ، ستوفر الوقت أثناء العمل على الأسئلة. أول 12 رقمًا مربعًا هي:

• 1² = 1 × 1 =

  الخطوة 1.

• 2² = 2 × 2 =

  الخطوة 4.

• 3² = 3 × 3 =

  الخطوة 9.

• 4² = 4 × 4 =

  الخطوة 16.

• 5² = 5 × 5 =

  الخطوة 25.

• 6² = 6 × 6 = 36
• 7² = 7 × 7 = 49
• 8² = 8 × 8 = 64
• 9² = 9 × 9 = 81
• 10² = 10 × 10 = 100
• 11² = 11 × 11 = 121
• 12² = 12 × 12 = 144

الخطوة 5. بسّط الجذر التربيعي بإزالة المربعات الكاملة

قد يكون إيجاد الجذر التربيعي لعدد مربع غير كامل أمرًا صعبًا ، خاصة إذا كنت لا تستخدم آلة حاسبة. ومع ذلك ، يمكن تبسيط العدد المراد تربيعه لتسهيل الحساب. للقيام بذلك ، ما عليك سوى فصل الرقم الموجود داخل الجذر إلى عدة عوامل ، ثم إزالة الجذر التربيعي للأعداد المربعة الكاملة وكتابة الإجابة خارج الجذر. هذه الطريقة سهلة جدًا - لمنحك فهمًا أفضل ، إليك المزيد من الشرح:

• لنفترض أننا نريد حساب الجذر التربيعي لـ 900. لذا ، ببساطة قسّم 900 على عوامله. "العوامل" هي أرقام يمكن ضربها معًا لإنتاج رقم آخر. على سبيل المثال ، يمكن الحصول على الرقم 6 بضربه و 1 × 6 و 2 × 3 ، وبالتالي فإن عوامل الرقم 6 هي 1 و 2 و 3 و 6.
• مع وضع هذا المبدأ في الاعتبار ، دعونا نقسم 900 إلى عواملها. في البداية ، نكتب 900 بالشكل 9 × 100. بما أن 9 مربع كامل ، فيمكننا أخذ الجذر التربيعي لـ 100 بشكل منفصل. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). بمعنى آخر ، (900) = 3√(100).

• يمكننا تبسيطها أكثر من خلال فصل 100 إلى عواملها ، أي 25 و 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. لذلك ، يمكن حساب (900) = 3 (10) =

  الخطوة 30..

الخطوة 6. استخدم رقمًا تخيليًا للجذر التربيعي لرقم سالب

فكر ، ما هو العدد إذا تربعت النتيجة -16؟ الجواب لا. كل الأرقام تربيع تكون النتيجة موجبة دائمًا ، لأنها سالبة (-) ، عند ضربها في سالب تكون النتيجة موجبة (+). لذلك ، لتربيع رقم سالب ، نحتاج إلى استبدال الرقم السالب برقم وهمي (عادة في شكل أحرف أو رموز). على سبيل المثال ، المتغير "i" يستخدم بشكل عام للجذر التربيعي لـ -1. يكون الرقم التخيلي دائمًا في الجذر التربيعي لرقم سالب.

وتجدر الإشارة إلى أنه على الرغم من عدم تمثيل الأرقام التخيلية أبدًا بالأرقام ، إلا أنه لا يزال من الممكن التعامل معها كأرقام بطرق مختلفة. على سبيل المثال ، يمكن تربيع الجذر التربيعي لعدد سالب لإزالة الجذر التربيعي. على سبيل المثال ، أنا² = - 1

جزء 2 من 3: استخدم خوارزمية أسلوب التقسيم المطول

الخطوة 1. حل مسائل الجذر التربيعي مثل مسائل القسمة المطولة

على الرغم من أن مشاكل الجذر التربيعي الصعبة تستغرق وقتًا طويلاً ، إلا أنه يمكن حلها بدون آلة حاسبة. للقيام بذلك ، سوف نستخدم طريقة (أو خوارزمية) مشابهة لقسمة المكدس الطويلة.

• ابدأ بكتابة مسألة الجذر التربيعي كما تفعل مع مسألة القسمة المطولة. كمثال ، أوجد جذر 6 ، 45 ، وهو ليس عددًا صحيحًا. أولاً ، نكتب الرمز الجذري (√) ، ثم نكتب أسفله الرقم الذي نريد أن نأخذ مربعه. ثم ارسم خطًا فوق الأرقام ، تمامًا مثل القسمة التراصية الطويلة. الآن ، يبدو أن الرمز "√" له ذيل برقم 6.45 في الأسفل.
• سنكتب الأرقام فوق المشكلة ، لذا تأكد من ترك بعض المساحة الفارغة.

الخطوة 2. قم بتجميع أرقام الرقم في أزواج

أولًا ، قم بتجميع أرقام العدد تحت الجذر في أزواج ، بدءًا من الفاصلة العشرية. قم بعمل نوع من العلامات (نقطة ، فاصلة ، خط ، إلخ) بين الأزواج لسهولة التتبع.

في مشكلة المثال ، 6 ، 45 سيتم تقسيمها إلى 6-, 45-00. تذكر أن هناك أرقامًا "متبقية" على اليسار - هذه ليست مشكلة.

الخطوة 3. أوجد أكبر رقم تكون قيمته التربيعية أقل من المجموعة الأولى أو مساوية لها

ابدأ بالرقم الأول في المجموعة على اليسار. اختر أكبر رقم تكون قيمته التربيعية أقل من أو تساوي في المجموعة. على سبيل المثال ، إذا كانت المجموعة 37 ، فاختر 6 لأن 6² = 36 <37 لكن 7² = 49> 37. اكتب هذا الرقم فوق المجموعة الأولى. هذا الرقم هو الرقم الأول من إجابتك.

• في مسألة المثال ، المجموعة الأولى المكونة من 6- ، 45-00 هي 6. أكبر عدد أقل من أو يساوي 6 عندما يكون تربيعًا هو

  الخطوة 2. - 2² = 4. اكتب الرقم "2" أعلى 6 والذيل هو جذري.

الخطوة 4. اضرب الرقم الذي كتبته للتو ، ثم اخفضه ثم اطرحه

خذ الرقم الأول من إجابتك (مكتوبًا فوق الجذر) واضربه. اكتب الإجابة تحت المجموعة الأولى واطرح لإيجاد الفرق. قم بإسقاط المجموعة التالية على يمين الفرق الذي حسبته للتو. أخيرًا ، اكتب الرقم الأخير من ضرب الرقم الأول من إجابتك على اليسار واترك فراغًا على اليمين.

في مسألة المثال ، الرقم المضاعف هو 2 (الرقم الأول من الإجابة السابقة). 2 × 2 = 4. ثم اطرح 4 في 6 (من المجموعة الأولى). 6-4 النتيجة هي 2. بعد ذلك ، نكتب المجموعة التالية (45) ونحصل على 245. أخيرًا ، اكتب الرقم 4 مرة أخرى على اليسار واترك مسافة صغيرة على اليمين ، على النحو التالي: 4_

الخطوة 5. املأ الفراغ

أضف الأرقام إلى يمين الرقم الذي كتبته على اليسار. اختر الرقم الذي يعطي أكبر قيمة عند ضربه في هذا الرقم الجديد ، ولكنه لا يزال أقل من "الرقم المشتق" أو مساويًا له. على سبيل المثال ، إذا كان "الرقم المشتق" هو 1700 والرقم الموجود على يسارك هو 40_ ، فإن الرقم الذي يجب إدخاله هو "4" لأن 404 × 4 = 1616 <1700 ، بينما 405 × 5 = 2025. الرقم الموجود في هذه الخطوة هي الرقم الثاني من إجابتك ، لذا اكتبها فوق رمز الجذر.

• في مثال المسألة ، سنبحث عن الرقم المجاور لـ 4_ × _ الذي تكون إجابته أكبر عدد ولكنها أقل من أو تساوي 245. الإجابة هي

  الخطوة الخامسة.. 45 × 5 = 225 ، بينما 46 × 6 = 276.

الخطوة 6. استمر في استخدام أرقام "المساحة الفارغة" للعثور على إجابتك

استمر في نمط قسمة التراص الطويل حتى يصبح الفرق بين عمليات طرح الأرقام المشتقة صفرًا أو الحصول على رقم دقيق إلى حد ما. عندما تنتهي ، فإن الأرقام التي استخدمتها لملء الفراغات في كل خطوة (بالإضافة إلى الرقم الأول الذي استخدمته) تشكل كل رقم من إجابتك.

• في مثال المسألة ، اطرح 245 في 220 لنحصل على 20. بعد ذلك ، سنخفض المجموعة التالية من الأرقام ، 00 ، ونحصل على 2000. اضرب الرقم فوق رمز الجذر ، ونحصل على 25 × 2 = 50. للتعبئة. في الفراغات عند 50_ × _ = / <2 ، 000 ، نحصل على الرقم

  الخطوه 3.. الآن ، لدينا "253" فوق رمز الجذر - كرر هذه العملية مرة أخرى ، واحصل على 9 في الرقم التالي.

الخطوة 7. إزالة العلامة العشرية من الأصل

للحصول على الإجابة النهائية ، ضع العلامة العشرية في الموضع الصحيح. إنه سهل - فقط ضع العلامة العشرية في خط مع العلامة العشرية أسفل رمز الجذر. على سبيل المثال ، الرقم الموجود أسفل الجذر هو 49 ، 8 ، لذا ضع علامة عشرية بين الأرقام فوق 8 و 9.

في مسألة المثال ، إذا كان الرقم تحت الجذر هو 6 ، 45 ، فإن الفاصلة العشرية ستكون في السطر بين الرقمين 2 و 5. وهذا يعني أن الإجابة النهائية هي 2, 539.

جزء 3 من 3: تقدير المربعات غير الكاملة بسرعة

الخطوة الأولى: أوجد المربع الناقص باستخدام التقريب

بمجرد حفظ المربعات الكاملة ، سيكون العثور على المربعات غير الكاملة أسهل بكثير. الحيلة هي العثور على مربع كامل قبل وبعد الرقم الذي تبحث عنه. حدد بعد ذلك أي مربعين كاملين هو الأقرب للعدد الذي تبحث عنه.

على سبيل المثال ، نريد إيجاد الجذر التربيعي لـ 40. العدد التربيعي الكامل قبل وبعد 40 هو 6² و 7²، وهي 36 و 49. بما أن 40 أكبر من 36 وأقل من 49 ، يجب أن يكون الجذر التربيعي لـ 40 بين 6 و 7. والعدد 40 أقرب إلى 36 من 49 ، لذا فإن الجذر التربيعي لـ 40 هو أقرب إلى 6. فيما يلي بعض الخطوات للعثور على إجابة دقيقة.

الخطوة 2. قدر الجذر التربيعي لرقم واحد بعد الفاصلة

عندما تحدد رقمين مربعين كاملين قبل وبعد الرقم الذي تبحث عنه ، فإن الباقي هو عملية إيجاد الرقم خلف الفاصلة الأقرب للإجابة. ابدأ بالرقم المقدر المكون من رقم واحد بعد الفاصلة. ستستمر هذه العملية في التكرار حتى تحصل على إجابة بالدقة التي تريدها.

في مسألة المثال ، التقريب المعقول للجذر التربيعي لـ 40 هو 6, 4 ، لأن الإجابة على الأرجح أقرب إلى 6 من 7.

الخطوة 3. اضرب الرقم المقدر في الرقم نفسه

بعبارة أخرى ، قم بتربيع الرقم التقريبي. إذا كنت محظوظًا ، فستكون النتيجة هي الرقم في المشكلة. إذا لم يكن كذلك ، فاستمر في جمع أو طرح الأرقام بعد الفاصلة حتى تجد المربع الأقرب للرقم في المسألة.

• اضرب 6، 4 في 6، 4 لتحصل على 6، 4 × 6، 4 = 40, 96 ، وهو ما يزيد قليلاً عن 40.
• نظرًا لأن التجربة الأولية كانت زائدة عن الحاجة ، اطرح التقريب في منزلة عشرية واحدة ، وهي 6 ، 3 × 6 ، 3 = 39, 69. هذه النتيجة أقل بقليل من الرقم في المشكلة. هذا يعني أن الجذر التربيعي لـ 40 يقع بين 6 و 3 و 6 ، 4. ثم ، بما أن 39.69 أقرب إلى 40 ، فإن الجذر التربيعي لـ 40 هو أيضًا أقرب إلى 6 ، 3.

الخطوة 4. التنبؤ إلى الأمام حسب الحاجة

استخدم إجابتك إذا كنت تعتقد أنها دقيقة بدرجة كافية. ولكن إذا لم يكن الأمر كذلك ، فما عليك سوى متابعة النمط التقريبي أعلاه حتى تجد إجابة مكونة من ثلاثة أو أربعة أرقام بعد الفاصلة - على أي حال ، حتى تصل إلى مستوى الدقة الذي تريده.

في مثال المسألة ، دعنا نحاول اختيار 6 ، 33 كرقمين تقريبيين خلف الفاصلة. مربع 6 ، 33 والنتيجة هي 6 ، 33 × 6 ، 33 = 40 ، 0689. نظرًا لأن النتيجة أعلى من الرقم في المسألة ، نحاول تقليل الرقم الثاني بعد الفاصلة إلى 6 ، 32. 6 ، 32 × 6 ، 32 = 39 ، 9424. هذه النتيجة أقل بقليل من الرقم في المسألة. إذن ، الجذر التربيعي لـ 40 يقع بين 6 و 33 و 6 و 32. إذا كنت تريد إجابة أكثر دقة ، فيرجى المتابعة إلى ثلاثة أو أربعة أو حتى خمسة أرقام بعد الفاصلة..

نصائح

استخدم الآلة الحاسبة للحل الأسرع. يمكن للآلات الحاسبة الحديثة الآن إيجاد الجذر التربيعي بسرعة. عادة ، ما عليك سوى إدخال الرقم الذي تبحث عنه ، ثم الضغط على الزر الذي يحمل رمز الجذر. على سبيل المثال ، للعثور على الجذر التربيعي للرقم 841 ، فقط اضغط على 8 ، 4 ، 1 ، (√) وستظهر الإجابة 39.