في الرياضيات، التخصيم هي طريقة لإيجاد الأرقام أو التعبيرات التي ينتج عنها رقم أو معادلة عند ضربها. العوملة هي مهارة مفيدة لتعلم حل مسائل الجبر البسيطة. تصبح القدرة على التحليل الجيد مهمة عند التعامل مع المعادلات التربيعية والأشكال الأخرى من كثيرات الحدود. يمكن استخدام التحليل إلى العوامل لتبسيط المقادير الجبرية لتسهيل حلولها. يمكن أن يمنحك التخصيم القدرة على حذف بعض الإجابات المحتملة ، أسرع بكثير من حلها يدويًا.
خطوة
طريقة 1 من 3: تحليل الأعداد والتعبيرات الجبرية البسيطة إلى عوامل
الخطوة 1. فهم تعريف التحليل عند تطبيقه على الأرقام الفردية
التخصيم مفهوم بسيط ، ولكن من الناحية العملية ، يمكن أن يكون صعبًا عند تطبيقه على المعادلات المعقدة. لذلك ، من الأسهل الاقتراب من مفهوم التحليل بالبدء بأرقام بسيطة ، ثم الانتقال إلى المعادلات البسيطة ، قبل الانتقال أخيرًا إلى تطبيقات أكثر تعقيدًا. عوامل العدد هي الأرقام التي تنتج الرقم عند ضربها. على سبيل المثال ، عوامل العدد 12 هي 1 و 12 و 2 و 6 و 3 و 4 ، لأن 1 × 12 و 2 × 6 و 3 × 4 تساوي 12.
- طريقة أخرى للتفكير في الأمر هي أن عوامل الرقم هي أرقام يمكن تقسيمها بالتساوي إلى عدد.
-
هل تستطيع إيجاد جميع عوامل العدد 60؟ نستخدم الرقم 60 لأغراض مختلفة (دقائق في الساعة ، وثواني في الدقيقة ، وما إلى ذلك) لأنه يمكن القسمة على عدد كبير جدًا من الأرقام الأخرى.
عوامل 60 هي 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 و 10 و 12 و 15 و 20 و 30 و 60
الخطوة 2. افهم أنه يمكن أيضًا تحليل التعبيرات المتغيرة إلى عوامل
مثلما يمكن تحليل الأرقام نفسها إلى عوامل ، يمكن أيضًا تحليل المتغيرات ذات المعاملات العددية. للقيام بذلك ، ما عليك سوى العثور على عوامل المعاملات المتغيرة. معرفة كيفية تحليل المتغير مفيد جدًا في تبسيط المعادلات الجبرية التي تتضمن هذا المتغير.
-
على سبيل المثال ، يمكن كتابة المتغير 12x على أنه حاصل ضرب العاملين 12 و x. يمكننا كتابة 12x في صورة 3 (4x) ، 2 (6x) ، وما إلى ذلك ، باستخدام أي عامل من 12 يعمل بشكل أفضل لأغراضنا.
يمكننا حتى تحليل 12x عدة مرات. بعبارة أخرى ، لا يتعين علينا التوقف عند 3 (4x) أو 2 (6x) - يمكننا تحليل 4x و 6x لإنتاج 3 (2 (2x) و 2 (3 (2x). بالطبع ، هذين التعبيرين متكافئة
الخطوة 3. تطبيق خاصية التوزيع للضرب لتحليل المعادلات الجبرية
باستخدام معرفتك بكيفية تحليل كل من الأرقام الفردية والمتغيرات باستخدام المعاملات ، يمكنك تبسيط المعادلات الجبرية البسيطة من خلال إيجاد العوامل التي تشترك فيها الأرقام والمتغيرات في المعادلات الجبرية. عادة ، لتبسيط معادلة ، نحاول إيجاد العامل المشترك الأكبر. عملية التبسيط هذه ممكنة بسبب خاصية التوزيع الخاصة بالضرب ، والتي تنطبق على أي رقم أ ، ب ، ج. أ (ب + ج) = أب + ج.
- لنجرب سؤال كمثال. لتحليل المعادلة الجبرية 12x + 6 ، دعنا أولاً نحاول إيجاد العامل المشترك الأكبر 12x و 6. 6 هو أكبر عدد يمكن أن يقسم 12x و 6 بالتساوي ، لذلك يمكننا تبسيط المعادلة إلى 6 (2x + 1).
- تنطبق هذه العملية أيضًا على المعادلات ذات الأرقام والكسور السالبة. على سبيل المثال ، يمكن تبسيط x / 2 + 4 إلى 1/2 (x + 8) ، ويمكن تحليل -7x + -21 إلى -7 (x + 3).
طريقة 2 من 3: تحليل المعادلات التربيعية
الخطوة الأولى: تأكد من أن المعادلة في شكل تربيعي (ax2 + ب س + ج = 0).
المعادلات التربيعية لها شكل الفأس2 + bx + c = 0 ، حيث a و b و c هي ثوابت عدد ولا تساوي 0 (لاحظ أن a يمكن أن يساوي 1 أو -1). إذا كانت لديك معادلة تحتوي على متغير واحد (x) له مصطلح واحد x أس اثنين أو أكثر ، فعادة ما تقوم بتحريك هذه المصطلحات في المعادلة باستخدام عمليات جبرية بسيطة للحصول على 0 على جانبي علامة التساوي والفأس2، إلخ. على الجانب الآخر.
- على سبيل المثال ، دعنا نفكر في معادلة جبرية. 5x2 + 7 س - 9 = 4 س2 + x - 18 يمكن تبسيطها إلى x2 + 6x + 9 = 0 ، وهو الشكل المربع.
- المعادلات ذات القوة الأكبر لـ x ، مثل x3، س4، إلخ. ليست معادلات من الدرجة الثانية. هذه المعادلات عبارة عن معادلات تكعيبية ، مرفوعة للأس رابعة ، وما إلى ذلك ، ما لم يكن بالإمكان تبسيط المعادلة لإزالة حدود x هذه التي لها قوى أكبر من 2.
الخطوة 2. في المعادلة التربيعية ، حيث a = 1 ، عامل في (x + d) (x + e) ، حيث d × e = c و d + e = b
إذا كانت المعادلة التربيعية في الصورة x2 + bx + c = 0 (بمعنى آخر ، إذا كان معامل المصطلح x2 = 1) ، من الممكن (ولكن ليس مضمونًا) أنه يمكن استخدام طريقة مختصرة سهلة إلى حد ما لتحليل المعادلة. أوجد عددين ، عند ضربهما ، نحصل على c و أضيفت لإنتاج ب. بعد البحث عن هذين الرقمين d و e ، ضعهما في التعبير التالي: (س + د) (س + ه). هذان المصطلحان ، عند ضربهما ، يعطيكم المعادلة التربيعية - وبعبارة أخرى ، فإنهما عاملان في معادلتك التربيعية.
- على سبيل المثال ، لنفكر في المعادلة التربيعية x2 + 5x + 6 = 0. يتم ضرب 3 و 2 للحصول على 6 ويتم إضافتهما أيضًا للحصول على 5 ، لذلك يمكننا تبسيط هذه المعادلة إلى (x + 3) (x + 2).
-
يكمن الاختلاف الطفيف في طريقة الاختزال الأساسية هذه في الاختلافات في أوجه التشابه نفسها:
- إذا كانت المعادلة التربيعية في الصورة x2-bx + c ، إجابتك بهذا الشكل: (x - _) (x - _).
- إذا كانت المعادلة بالصيغة x2+ bx + c ، تبدو إجابتك كما يلي: (x + _) (x + _).
- إذا كانت المعادلة بالصيغة x2-bx-c ، إجابتك بصيغة (x + _) (x - _).
- ملاحظة: يمكن أن تكون الأرقام الموجودة في الفراغات كسورًا أو كسورًا عشرية. على سبيل المثال ، المعادلة س2 تم تحليل + (21/2) x + 5 = 0 إلى (x + 10) (x + 1/2).
الخطوة 3. إذا كان ذلك ممكنا ، عامل من خلال الشيكات
صدق أو لا تصدق ، بالنسبة للمعادلات التربيعية غير المعقدة ، فإن إحدى طرق العوملة المسموح بها هي فحص المشكلة ، ثم النظر في الإجابات المحتملة حتى تجد الإجابة الصحيحة. تُعرف هذه الطريقة أيضًا باسم التخصيم من خلال الفحص. إذا كانت المعادلة في شكل فأس2+ bx + c و a> 1 ، تكون إجابتك على شكل (dx +/- _) (ex +/- _) ، حيث d و e ثوابت من أرقام غير صفرية والتي عند ضربها تعطي a. لا يمكن أن يكون أي من d أو e (أو كليهما) 1 ، على الرغم من أنه لا يجب أن يكون كذلك. إذا كان كلاهما 1 ، فأنت تستخدم طريقة الاختزال الموضحة أعلاه.
لنفكر في مثال لمشكلة. 3x2 - 8x + 4 تبدو صعبة في البداية. ومع ذلك ، بمجرد أن ندرك أن الرقم 3 يحتوي على عاملين فقط (3 و 1) ، تصبح هذه المعادلة أسهل لأننا نعلم أن إجابتنا يجب أن تكون بالصيغة (3x +/- _) (x +/- _). في هذه الحالة ، فإن إضافة -2 إلى كلا الفراغين يعطي الإجابة الصحيحة. -2 × 3 س = -6 س و -2 × س = -2 س. -6x و -2x تضيف ما يصل إلى -8x. -2 × -2 = 4 ، لذا يمكننا أن نرى أن الحدود التي تم تحليلها بين الأقواس عند ضربها تنتج المعادلة الأصلية.
الخطوة 4. حل بإكمال المربع
في بعض الحالات ، يمكن تحليل المعادلات التربيعية بسرعة وسهولة باستخدام متطابقات جبرية خاصة. أي معادلة من الدرجة الثانية في الصورة x2 + 2xh + h2 = (س + ح)2. لذا ، إذا كانت قيمة b في معادلتك هي ضعف الجذر التربيعي لقيمة c ، فيمكن تحليل المعادلة إلى (x + (root (c)))2.
على سبيل المثال ، المعادلة س2 + 6x + 9 بهذا الشكل. 32 هي 9 و 3 × 2 تساوي 6. لذا ، فنحن نعلم أن صيغة عوامل هذه المعادلة هي (x + 3) (x + 3) ، أو (x + 3)2.
الخطوة 5. استخدم العوامل لحل المعادلات التربيعية
بغض النظر عن كيفية تحليل المعادلة التربيعية إلى عوامل ، يمكنك العثور على إجابات محتملة لقيمة x بجعل كل عامل يساوي صفرًا وحلها بمجرد تحليلها. نظرًا لأنك تبحث عن قيمة x التي تجعل معادلتك تساوي صفرًا ، فإن قيمة x التي تجعل أي عامل يساوي صفرًا هي إجابة محتملة لمعادلتك التربيعية.
لنعد إلى المعادلة س2 + 5x + 6 = 0. تم تحليل هذه المعادلة في (x + 3) (x + 2) = 0. إذا كان أي من العاملين يساوي 0 ، فإن جميع المعادلات تساوي 0 ، لذا فإن إجاباتنا المحتملة على x هي أرقام - وهو رقم يصنع (x + 3) و (x + 2) تساوي 0. هذه الأرقام هي -3 و -2 على التوالي.
الخطوة 6. تحقق من إجاباتك - قد تكون بعض الإجابات مضللة
عندما تجد إجابات محتملة لـ x ، عوض بها في المعادلة الأصلية لترى ما إذا كانت الإجابة صحيحة. في بعض الأحيان ، لا تجعل الإجابات التي تجدها المعادلة الأصلية تساوي الصفر عند إعادة إدخالها. نسمي هذه الإجابة منحرفة ونتجاهلها.
-
لنضع -2 و -3 في x2 + 5 س + 6 = 0. أولاً ، -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. هذه الإجابة صحيحة ، لذا فإن -2 هي الإجابة الصحيحة.
-
الآن ، لنجرب -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. هذه الإجابة صحيحة أيضًا ، لذا فإن -3 هي الإجابة الصحيحة.
طريقة 3 من 3: تحليل المعادلات الأخرى
الخطوة 1. إذا تم التعبير عن المعادلة بالصيغة a2-ب2، عامل في (أ + ب) (أ-ب).
المعادلات ذات المتغيرين لها عوامل مختلفة عن المعادلة التربيعية الأساسية. للمعادلة أ2-ب2 أي شيء لا تساوي فيه a و b 0 ، فإن عوامل المعادلة هي (a + b) (a-b).
على سبيل المثال ، المعادلة 9x2 - 4 سنوات2 = (3 س + 2 ص) (3 س - 2 ص).
الخطوة 2. إذا تم التعبير عن المعادلة بالصيغة أ2+ 2 أب + ب2، عامل في (أ + ب)2.
لاحظ أنه إذا كانت ثلاثية الحدود بالصيغة a2-2 أب + ب2، تختلف عوامل الشكل قليلاً: (أ-ب)2.
4x. المعادلة2 + 8xy + 4y2 يمكن إعادة كتابتها كـ 4x2 + (2 × 2 × 2) س ص + 4 ص2. الآن ، يمكننا أن نرى أن الصيغة صحيحة ، لذا يمكننا التأكد من أن عوامل معادلتنا هي (2x + 2y)2
الخطوة 3. إذا تم التعبير عن المعادلة بالصيغة أ3-ب3، عامل في (أ-ب) (أ2+ أب + ب2).
أخيرًا ، سبق أن ذكرنا أنه يمكن تحليل المعادلات التكعيبية وحتى الأس الأعلى ، على الرغم من أن عملية العوملة سرعان ما تصبح معقدة للغاية.
على سبيل المثال ، 8x3 - 27 سنة3 محللة في (2x - 3y) (4x2 + ((2x) (3y)) + 9 سنوات2)
نصائح
- أ2-ب2 يمكن أخذها في الاعتبار ، أ2+ ب2 لا يمكن أخذها في الاعتبار.
- تذكر كيف تحلل ثابتًا. هذا قد يساعد.
- كن حذرًا مع الكسور في عملية العوملة واعمل مع الكسور بشكل صحيح وحذر.
- إذا كان لديك ثلاثي الحدود للصيغة x2+ bx + (ب / 2)2، عامل الشكل هو (x + (b / 2))2. (قد تواجه هذا الموقف عند إكمال المربع.)
- تذكر أن a0 = 0 (خاصية حاصل ضرب الصفر).
