في حساب التفاضل والتكامل المشتق ، نقطة الانعطاف هي النقطة الموجودة على المنحنى التي يتغير عندها المنحنى (من الموجب إلى السالب أو من السالب إلى الموجب). يتم استخدامه في مجموعة متنوعة من الموضوعات ، بما في ذلك الهندسة والاقتصاد والإحصاء ، لتحديد التغييرات الأساسية في البيانات. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد نقطة انعطاف المنحنى ، فانتقل إلى الخطوة 1.
خطوة
طريقة 1 من 3: فهم نقاط الانعكاس
الخطوة 1. فهم الوظيفة المقعرة
لفهم نقطة الانعطاف ، تحتاج إلى التمييز بين الدوال المقعرة والمحدبة. الدالة المقعرة هي وظيفة لا يكون فيها الخط الذي يربط بين نقطتين على الرسم البياني أعلى من الرسم البياني أبدًا.
الخطوة 2. فهم وظيفة محدبة
الدالة المحدبة هي في الأساس عكس الدالة المحدبة: أي وظيفة لا يكون فيها الخط الذي يربط بين نقطتين على الرسم البياني أدنى من الرسم البياني أبدًا.
الخطوة 3. فهم أساسيات الوظيفة
أساس الوظيفة هو النقطة التي تساوي فيها الوظيفة صفرًا.
إذا كنت سترسم دالة ، فإن القواعد هي النقاط التي تتقاطع فيها الوظيفة مع المحور x
الطريقة 2 من 3: إيجاد مشتق التابع
الخطوة 1. أوجد المشتق الأول للدالة
قبل أن تتمكن من إيجاد نقطة الانعطاف ، يجب أن تجد مشتق الدالة. يمكن العثور على مشتق الوظيفة الأساسية في أي كتاب حساب التفاضل والتكامل ؛ تحتاج إلى تعلمها قبل أن تتمكن من الانتقال إلى وظائف أكثر تعقيدًا. يتم كتابة المشتق الأول بالصيغة f '(x). بالنسبة لتعبير متعدد الحدود بالصيغة axp + bx (p 1) + cx + d ، فإن المشتق الأول هو apx (p − 1) + b (p 1) x (p 2) + c.
-
للتوضيح ، افترض أنه عليك إيجاد نقطة انعطاف الدالة f (x) = x3 + 2x − 1. احسب المشتق الأول للدالة كما يلي:
و (س) = (س 3 + 2 س 1) ′ = (س 3) ′ + (2 س) ′ (1) ′ = 3 س 2 + 2 + 0 = 3 س 2 + 2
الخطوة 2. أوجد المشتق الثاني للدالة
المشتق الثاني هو المشتق الأول من المشتق الأول للدالة ، مكتوبًا بالصيغة f (x).
-
في المثال أعلاه ، سيكون حساب المشتق الثاني للدالة كما يلي:
و (س) = (3 س 2 + 2) ′ = 2 × 3 × س + 0 = 6 س
الخطوة 3. اجعل المشتق الثاني يساوي صفرًا
ضع المشتق الثاني ليساوي صفرًا وحل المعادلة. إجابتك هي نقطة انعطاف محتملة.
-
في المثال أعلاه ، سيبدو الحساب الخاص بك كما يلي:
و (س) = 0
6 س = 0
س = 0
الخطوة 4. أوجد المشتق الثالث للدالة
لمعرفة ما إذا كانت إجابتك حقًا نقطة انعطاف ، أوجد المشتق الثالث ، وهو أول مشتق من المشتق الثاني للدالة ، مكتوبًا بالصيغة f (x).
-
في المثال أعلاه ، سيبدو الحساب الخاص بك كما يلي:
و (س) = (6 س) ′ = 6
طريقة 3 من 3: إيجاد نقاط الانعطاف
الخطوة 1. تحقق من المشتق الثالث
القاعدة القياسية لفحص نقاط الانعطاف المحتملة هي كما يلي: "إذا لم يكن المشتق الثالث صفرًا ، f (x) = / 0 ، فإن نقطة الانعطاف المحتملة هي في الواقع نقطة الانعطاف." تحقق من المشتق الثالث. إذا كانت لا تساوي الصفر ، فهذه القيمة هي نقطة الانقلاب الحقيقية.
في المثال أعلاه ، المشتق الثالث هو 6 ، وليس 0. وبالتالي ، فإن 6 هي نقطة الانقلاب الحقيقية
الخطوة 2. أوجد نقطة الانعطاف
تتم كتابة إحداثيات نقطة الانعطاف كـ (x، f (x)) ، حيث x هي قيمة النقطة المتغيرة عند نقطة الانعطاف و f (x) هي قيمة الوظيفة عند نقطة الانعطاف.
-
في المثال أعلاه ، تذكر أنه عند حساب المشتق الثاني ، ستجد أن x = 0. وبالتالي ، يجب أن تجد f (0) لتحديد إحداثياتك. سيبدو حسابك كما يلي:
و (0) = 03 + 2 × 0−1 = 1.
الخطوة 3. سجل إحداثياتك
إحداثيات نقطة الانعطاف هي قيمة x والقيمة التي حسبتها أعلاه.
