كل المثلثات القائمة لها زاوية قائمة (90 درجة) ، والوتر هو الضلع المقابل لتلك الزاوية. الوتر هو أطول ضلع في المثلث ، ومن السهل جدًا إيجاده بعدة طرق مختلفة. ستعلمك هذه المقالة كيفية إيجاد طول الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس إذا كنت تعرف أطوال ضلعي المثلث الآخرين. بعد ذلك ، ستعلمك هذه المقالة كيفية تحديد الوتر لبعض مثلثات قائمة الزاوية الخاصة التي تظهر بشكل متكرر في الاختبارات. أخيرًا ، ستعلمك هذه المقالة كيفية إيجاد طول الوتر باستخدام قانون الجيب إذا كنت تعرف طول ضلع واحد فقط وقياس زاوية غير الزاوية القائمة.
خطوة
طريقة 1 من 3: استخدام نظرية فيثاغورس
الخطوة 1. تعلم نظرية فيثاغورس
تصف نظرية فيثاغورس العلاقة بين أضلاع المثلث القائم الزاوية. تنص هذه النظرية على أنه بالنسبة لأي مثلث قائم الزاوية بطول أ و ب ، ووتر على طول ج ، أ2 + ب2 = ج2.
الخطوة الثانية: تأكد من أن مثلثك هو مثلث قائم الزاوية
تنطبق نظرية فيثاغورس فقط على المثلثات القائمة ، وبحسب التعريف ، المثلثات القائمة فقط لها وتر. إذا كان للمثلث زاوية واحدة تساوي 90 درجة بالضبط ، فهو مثلث قائم الزاوية ويمكنك المضي قدمًا.
غالبًا ما يتم الإشارة إلى الزوايا اليمنى في الكتب المدرسية والامتحانات بمربع صغير في زاوية الزاوية. هذه العلامة الخاصة تعني "90 درجة"
الخطوة 3. عيّن المتغيرات a و b و c على جوانب المثلث
سيتم دائمًا تعيين المتغير "c" للوتر ، أو الضلع الأطول. اختر أحد الجوانب الأخرى ليكون "أ" ، واتصل بالطرف الآخر "ب" (لا يهم أي جانب هو أ أو ب ؛ ستظل العملية الحسابية كما هي). بعد ذلك ، قم بالتعويض عن أطوال كل من a و b في الصيغة ، وفقًا للمثال التالي:
إذا كان المثلث الخاص بك يحتوي على جوانب من الطول 3 و 4 ، وقمت بتعيين الأحرف على الجانبين بحيث تكون أ = 3 و ب = 4 ، يمكنك كتابة المعادلة على النحو التالي: 32 + 42 = ج2.
الخطوة 4. أوجد مربع a و b
للعثور على مربع الرقم ، ما عليك سوى ضرب الرقم في نفسه ، لذلك أ2 = أ س أ. أوجد مربعي a و b ، وعوّضهما في الصيغة.
- إذا كان a = 3 ، أ2 = 3 × 3 ، أو 9. إذا كانت ب = 4 ، ب2 = 4 × 4 أو 16.
- عندما تعوض بهذه القيم في معادلتك ، يجب أن تبدو معادلتك الآن كما يلي: 9 + 16 = ج2.
الخطوة 5. اجمع قيم a2 و ب2.
عوض بالمجموع في المعادلة ، وسيمنحك هذا قيمة c2. لم يتبق سوى خطوة واحدة ، وسوف تحل الوتر!
في مثالنا ، 9 + 16 = 25 ، لذلك ستكتب 25 = ج2.
الخطوة 6. أوجد الجذر التربيعي لـ c2.
استخدم دالة الجذر التربيعي في الآلة الحاسبة (أو الذاكرة أو جدول الضرب) لإيجاد الجذر التربيعي لـ ج2. الجواب هو طول الوتر!
في مثالنا ، ج2 = 25. الجذر التربيعي لـ 25 هو 5 (5 × 5 = 25 ، وبالتالي الجذر (25) = 5). هذا يعني، ج = 5 ، طول الوتر لدينا!
طريقة 2 من 3: إيجاد الوتر لمثلث خاص قائم الزاوية
الخطوة الأولى: تعلم كيفية التعرف على المثلثات باستخدام ثلاثية فيثاغورس
أطوال أضلاع ثلاثية فيثاغورس هي أعداد صحيحة وفقًا لنظرية فيثاغورس. غالبًا ما تظهر هذه المثلثات الخاصة في كتب الهندسة والامتحانات الموحدة مثل الأمم المتحدة. إذا كنت تتذكر بشكل خاص أول ثلاثيات فيثاغورس ، فيمكنك توفير الكثير من الوقت في هذه الاختبارات لأنك ستكتشف بسرعة وتر أحد هذه المثلثات بمجرد النظر إلى أطوال الأضلاع!
- كانت أول ثلاثية فيثاغورس 3-4-5 (32 + 42 = 52، 9 + 16 = 25). عندما ترى مثلثًا قائمًا بطول 3 و 4 ، ستعتقد على الفور أن وتر المثلث هو 5 دون الحاجة إلى إجراء أي حسابات.
-
تظل النسبة الثلاثية فيثاغورس صحيحة حتى لو تم ضرب الأضلاع في رقم آخر. على سبيل المثال ، مثلث قائم بطول الساق
الخطوة 6. دا
الخطوة 8. سوف يكون لها وتر
الخطوة 10. (62 + 82 = 102، 36 + 64 = 100). الشيء نفسه ينطبق على 9-12-15 وحتى 1, 5-2-2, 5. جرب الحسابات وانظر بنفسك!
- ثلاثية فيثاغورس الثانية التي تظهر بشكل متكرر في الامتحانات هي 5-12-13 (52 + 122 = 132، 25 + 144 = 169). انتبه أيضًا إلى المضاعفات مثل 10-24-26 و 2, 5-6-6, 5.
الخطوة الثانية: تذكر نسبة أضلاع المثلث القائم 45-45-90
المثلث القائم الزاوية 45-45-90 زواياه 45 و 45 و 90 درجة ، ويسمى أيضًا مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين. يظهر هذا المثلث بشكل متكرر في الاختبارات الموحدة ، وهو مثلث سهل الحل للغاية. النسبة بين أضلاع هذا المثلث هي 1: 1: جذر (2) ، مما يعني أن أطوال الساقين متساوية ، وطول الوتر هو ببساطة طول الساقين مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين.
- لحساب وتر هذا المثلث بناءً على طول أحد رجليه ، اضرب طول الضلع في المربع (2).
- من المفيد معرفة هذه المقارنات ، خاصةً عندما تعطي أسئلة الاختبار أو الواجب المنزلي أطوال الأضلاع كمتغيرات بدلاً من الأعداد الصحيحة.
الخطوة 3. ادرس النسب الجانبية للمثلث الأيمن 30-60-90
هذه المثلثات لها قياسات زوايا 30 و 60 و 90 درجة ، وتحدث عندما تقطع مثلثًا متساوي الأضلاع إلى النصف. دائمًا ما تكون أضلاع المثلث القائم من 30 إلى 60-90 هي النسبة 1: جذر (3): 2 ، أو x: الجذر (3) x: 2x. إذا أعطيت طول ساق واحدة من مثلث قائم الزاوية 30-60-90 وطُلب منك إيجاد الوتر ، فسيكون من السهل جدًا حل هذه المسألة:
-
إذا أعطيت طول أقصر ضلع (المقابل بزاوية 30 درجة) ، اضرب طول الضلع في 2 لإيجاد طول الوتر. على سبيل المثال ، إذا كان طول أقصر رجل هو
الخطوة 4.، تعلم أن طول الوتر يجب أن يكون
الخطوة 8..
-
إذا أعطيت طول الساق الأطول (مقابل زاوية 60 درجة) ، فاضرب هذا الطول في 2 / الجذر (3) لإيجاد طول الوتر. على سبيل المثال ، إذا كان طول الساق الأطول
الخطوة 4.، فأنت تعلم أن طول الوتر المحدد هو 4, 62.
طريقة 3 من 3: إيجاد الوتر باستخدام قانون الجيب
الخطوة 1. فهم معنى "شرط"
تشير المصطلحات "جيب" و "جيب التمام" و "الظل" إلى النسب المختلفة بين زوايا و / أو جوانب المثلث القائم. في المثلث القائم ، شرط يتم تعريف الزاوية على أنها طول الضلع المقابل للزاوية مقسومًا على المثلث الوتر. اختصار الجيب في المعادلات والآلات الحاسبة هو الخطيئة.
الخطوة 2. تعلم كيفية حساب الجيب
حتى الآلات الحاسبة العلمية الأساسية لها وظيفة الجيب. ابحث عن الزر الذي يقول الخطيئة. للعثور على جيب الزاوية ، عادة ما تضغط على المفتاح الخطيئة ثم أدخل قياس الزاوية بالدرجات. ومع ذلك ، في بعض الآلات الحاسبة ، يجب عليك أولاً إدخال قياس الزاوية ثم الضغط على الزر الخطيئة. سيتعين عليك تجربة الآلة الحاسبة الخاصة بك أو التحقق من الدليل لمعرفة الطريقة التي يجب استخدامها.
- لإيجاد جيب الزاوية 80 درجة ، يجب أن تدخل 80 متبوعة بعلامة يساوي أو أدخل ، أو 80 خطيئة. (الجواب هو -0 ، 9939.)
- يمكنك أيضًا كتابة "آلة حاسبة جيبية" في بحث الويب ، والبحث عن بعض الآلات الحاسبة سهلة الاستخدام ، والتي ستأخذ أي تخمين بعيدًا عن الطريق.
الخطوة 3. تعلم قانون الجيب
قانون الجيب هو أداة مفيدة لحل المثلثات. على وجه الخصوص ، يمكن أن يساعدك هذا القانون في إيجاد وتر المثلث القائم إذا كنت تعرف طول أحد الأضلاع وقياس زاوية أخرى غير تلك الزاوية القائمة. لأي مثلث مع جوانب أ, ب ، و ج و الزوايا أ, ب ، و ج ، قانون الجيب ينص على ذلك أ / الخطيئة أ = ب / الخطيئة ب = ج / الخطيئة ج.
يمكن استخدام قانون الجيب لحل أي مثلث ، لكن المثلث القائم الزاوية فقط له وتر المثلث
الخطوة 4. عيّن المتغيرات أ وب وج لأضلاع المثلث
يجب أن يكون الوتر (الضلع الأطول) "c". للتيسير ، ضع علامة "أ" للجانب المعروف الطول ، وعلامة "ب" للجانب الآخر. الزاوية اليمنى المقابلة للوتر هي "C". الزاوية المقابلة للضلع "a" هي الزاوية "A" ، والزاوية المقابلة للضلع "b" هي "B".
الخطوة 5. احسب قياس الزاوية الثالثة
نظرًا لأنها زاوية قائمة ، فنحن نعرف ذلك بالفعل ج = 90 درجة ، وتعرف أيضًا القياسات أ أو ب. نظرًا لأن قياس الدرجة الداخلية للمثلث يساوي دائمًا 180 درجة ، يمكنك بسهولة حساب قياس الزوايا الثلاث باستخدام الصيغة: 180 - (90 + أ) = ب. يمكنك أيضًا عكس المعادلة إلى 180 - (90 + ب) = أ.
على سبيل المثال ، إذا كنت تعرف ذلك أ = 40 درجة, ب = 180 - (90 + 40). تبسيط هذا إلى ب = 180-130 ، ويمكنك تحديد ذلك بسرعة ب = 50 درجة.
الخطوة 6. تحقق من المثلث الخاص بك
في هذه الخطوة ، تعرف بالفعل قياسات الزوايا الثلاث وطول الضلع أ. حان الوقت الآن لتعويض هذه المعلومات في معادلات قانون الجيب لتحديد أطوال الضلعين الآخرين.
لمتابعة مثالنا ، لنفترض أن طول الضلع أ = 10. الزاوية ج = 90 درجة ، والزاوية أ = 40 درجة ، والزاوية ب = 50 درجة
الخطوة 7. طبق قانون الجيب على مثلثك
نحتاج فقط إلى التعويض عن الأعداد وحل المعادلة التالية لإيجاد طول الوتر c: طول الضلع a / sin A = طول الضلع c / sin C. قد تبدو هذه المعادلة مخيفة بعض الشيء ، لكن جيب 90 درجة دائمًا هو نفسه ، ودائمًا ما يساوي 1! وبالتالي ، يمكن تبسيط معادلتنا إلى: أ / الخطيئة أ = ج / 1 ، أو فقط أ / الخطيئة أ = ج.
الخطوة 8. قسّم طول الضلع أ مع جيب الزاوية أ لإيجاد طول الوتر!
يمكنك إيجاده في خطوتين منفصلتين ، أولًا عن طريق حساب sin A وكتابة النتيجة ، ثم القسمة على a. أو يمكنك إدخال كل شيء في الآلة الحاسبة في نفس الوقت. إذا كنت تستخدم آلة حاسبة ، فتذكر وضع الأقواس بعد علامة القسمة. على سبيل المثال ، أدخل 10 / (الخطيئة 40) أو 10 / (40 خطيئة) ، حسب الآلة الحاسبة الخاصة بك.
