3 طرق لحساب السرعة اللحظية

2025 مؤلف: Jason Gerald | [email protected]. آخر تعديل: 2025-01-23 12:06

تُعرَّف السرعة بأنها سرعة جسم في اتجاه معين. في كثير من الحالات ، لإيجاد السرعة ، يمكننا استخدام المعادلة v = s / t ، حيث v تساوي السرعة ، و s تساوي المسافة الكلية التي قطعها الجسم عن موضعه الأولي ، و t يساوي الزمن. ومع ذلك ، فإن هذه الطريقة تعطي فقط قيمة السرعة "المتوسطة" للجسم على إزاحته. باستخدام حساب التفاضل والتكامل ، يمكنك حساب سرعة جسم عند أي نقطة على طول إزاحته. هذه القيمة تسمى "السرعة اللحظية" ويمكن حسابها بالمعادلة الخامس = (دس) / (دت) ، أو بعبارة أخرى ، مشتق من معادلة السرعة المتوسطة للجسم.

خطوة

الطريقة 1 من 3: حساب السرعة اللحظية

الخطوة 1. ابدأ بمعادلة سرعة إزاحة الجسم

للحصول على قيمة السرعة اللحظية لجسم ما ، يجب أن يكون لدينا أولًا معادلة تصف موضعه (من حيث إزاحته) عند نقطة زمنية معينة. هذا يعني أن المعادلة يجب أن تحتوي على متغير س (الذي يقف بمفرده) على جانب واحد ، و ر من ناحية أخرى (ولكن ليس بالضرورة مستقلًا) ، مثل هذا:

ق = -1.5 طن²+ 10 طن + 4

• المتغيرات في المعادلة هي:

  النزوح = s. هذه هي المسافة التي يقطعها الجسم من نقطة البداية. على سبيل المثال ، إذا تحرك جسم ما مسافة 10 أمتار للأمام و 7 أمتار للخلف ، فإن المسافة الإجمالية المقطوعة هي 10-7 = 3 أمتار (ليس 10 + 7 = 17 مترًا).

  الوقت = ر. هذا المتغير لا يحتاج إلى شرح. عادة ما يتم التعبير عنها بالثواني. # خذ مشتق المعادلة. مشتق المعادلة هو معادلة أخرى يمكن أن تعطي قيمة المنحدر من نقطة معينة. لإيجاد مشتق معادلة إزاحة كائن ما ، قم باشتقاق الدالة باستخدام القاعدة العامة التالية: إذا كانت y = a * x ، مشتق = أ * ن * س^{ن -1}. تنطبق هذه القاعدة على أي مكون موجود في الجانب "t" من المعادلة.

  

• بمعنى آخر ، ابدأ بإنزال جانب "t" من المعادلة من اليسار إلى اليمين. في كل مرة تصل فيها إلى قيمة "t" ، اطرح 1 من قيمة الأس واضرب الكل في الأس الأصلي. ستفقد أي ثوابت (المتغيرات التي لا تحتوي على "t") لأنها مضروبة في 0. هذه العملية ليست بالصعوبة التي قد يعتقدها المرء ، فلنشتق المعادلة في الخطوة أعلاه كمثال:

ق = -1.5 طن²+ 10 طن + 4

(2) -1.5 طن^(2-1)+ (1) 10 طن^{1 - 1} + (0) 4 ت⁰

-3t¹ + 10 طن⁰

- 3 طن + 10

الخطوة 2. استبدل المتغير "s" بـ "ds / dt

"لتوضيح أن معادلتك الجديدة هي مشتق من المعادلة السابقة ، استبدل" s "بـ" ds / dt ". من الناحية الفنية ، يعني هذا الترميز" مشتق s بالنسبة إلى t. "الطريقة الأبسط لفهم ذلك هي أن ds / dt هي قيمة المنحدر (المنحدر) في أي نقطة في المعادلة الأولى ، على سبيل المثال ، لتحديد ميل الخط المرسوم من المعادلة s = -1.5t² + 10t + 4 عند t = 5 ، يمكننا التعويض بالقيمة "5" في معادلة الاشتقاق.

• في المثال المستخدم ، ستبدو المعادلة المشتقة الأولى كما يلي:

ds / ثانية = -3t + 10

الخطوة 3. عوض بقيمة t في المعادلة الجديدة للحصول على قيمة السرعة اللحظية

الآن بعد أن أصبح لديك معادلة الاشتقاق ، من السهل إيجاد السرعة اللحظية عند أي نقطة. كل ما عليك فعله هو اختيار قيمة لـ t وتعويضها في المعادلة المشتقة. على سبيل المثال ، إذا كنت تريد إيجاد السرعة اللحظية عند t = 5 ، يمكنك استبدال قيمة t بـ "5" في المعادلة المشتقة ds / dt = -3 + 10. ثم حل المعادلة على النحو التالي:

ds / ثانية = -3t + 10

ds / ثانية = -3 (5) + 10

ds / ثانية = -15 + 10 = - 5 متر / ثانية

لاحظ أن الوحدة المستخدمة أعلاه هي "متر / ثانية". نظرًا لأن ما نحسبه هو الإزاحة بالأمتار والوقت بالثواني (بالثواني) والسرعة بشكل عام هي الإزاحة في وقت معين ، فهذه الوحدة مناسبة للاستخدام

طريقة 2 من 3: تقدير السرعة الفورية بيانياً

الخطوة 1. ارسم رسمًا بيانيًا لإزاحة الجسم بمرور الوقت

في القسم أعلاه ، تم ذكر المشتق كصيغة لإيجاد الميل عند نقطة معينة للمعادلة التي تشتقها. في الواقع ، إذا كنت تمثل إزاحة كائن ما كخط على الرسم البياني ، فإن "ميل الخط عند جميع النقاط يساوي قيمة سرعته اللحظية عند تلك النقطة".

• لوصف إزاحة جسم ما ، استخدم x لتمثيل الوقت و y لتمثيل الإزاحة. ثم ارسم النقاط ، عوضًا عن قيمة t في المعادلة ، وبالتالي احصل على قيمة s للرسم البياني الخاص بك ، ضع علامة على t ، s في الرسم البياني كـ (x ، y).
• لاحظ أن الرسم البياني الخاص بك يمكن أن يمتد أسفل المحور السيني. إذا كان الخط الذي يمثل حركة الكائن الخاص بك يصل إلى ما دون المحور x ، فهذا يعني أن الكائن قد تحرك للخلف من موضعه الأولي. بشكل عام ، الرسم البياني الخاص بك لن يصل إلى الجزء الخلفي من المحور ص - لأننا لا نقيس سرعة جسم يتحرك في الماضي!

الخطوة 2. حدد النقطة المجاورة P و Q في السطر

للحصول على ميل الخط عند النقطة P ، يمكننا استخدام خدعة تسمى "أخذ النهاية". يتضمن أخذ الحد نقطتين (P و Q ، نقطة قريبة) على الخط المنحني وإيجاد ميل الخط عن طريق توصيلهما عدة مرات حتى تقترب المسافات P و Q.

لنفترض أن خط إزاحة الكائن يحتوي على القيم (1 ، 3) و (4 ، 7). في هذه الحالة ، إذا أردنا إيجاد الميل عند النقطة (1 ، 3) ، فيمكننا تحديده (1 ، 3) = ص و (4 ، 7) = س.

الخطوة 3. أوجد المنحدر بين P و Q

المنحدر بين P و Q هو الفرق في قيم y لـ P و Q على طول فرق قيمة المحور x لـ P و Q. وبعبارة أخرى ، ح = (ص_س - ذ_ص) / (x_س - س_ص) ، حيث H هو المنحدر بين النقطتين. في مثالنا ، قيمة المنحدر بين P و Q هي

ح = (ص_س- ذ_ص) / (x_س- س_ص)

ع = (7 - 3) / (4-1)

ع = (4) / (3) = 1.33

الخطوة 4. كرر عدة مرات ، مع تحريك Q أقرب إلى P

هدفك هو تقليل المسافة بين P و Q لتشبه النقطة. كلما اقتربت المسافة بين P و Q ، كلما اقترب ميل الخط عند النقطة P. افعل ذلك عدة مرات باستخدام المعادلة المستخدمة كمثال ، باستخدام النقاط (2 ، 4.8) ، (1.5 ، 3.95) ، (1.25 ، 3.49) كـ Q ونقطة البداية (1 ، 3) كـ P:

س = (2 ، 4.8):

ع = (4.8 - 3) / (2-1)

ع = (1.8) / (1) = 1.8

س = (1.5 ، 3.95):

ع = (3.95 - 3) / (1.5 - 1)

H = (.95) / (. 5) = 1.9

س = (1.25 ، 3.49):

ع = (3.49 - 3) / (1.25 - 1)

ع = (.49) / (. 25) = 1.96

الخطوة 5. قم بتقدير منحدر الخط لمسافة صغيرة جدًا

عندما تقترب Q من P ، فإن H تقترب أكثر فأكثر من قيمة ميل النقطة P. في النهاية ، عندما تصل إلى قيمة صغيرة جدًا ، H تساوي منحدر P. نظرًا لأنه لا يمكننا قياس أو حساب مسافات صغيرة جدًا ، يمكننا فقط تقدير المنحدر على P بعد أن يتضح من النقطة التي نحاولها.

• في المثال ، عندما نقترب Q من P ، نحصل على قيم 1.8 و 1.9 و 1.96 لـ H. نظرًا لأن هذه الأرقام قريبة من 2 ، يمكننا القول أن 2 هو الميل التقريبي لـ P.
• تذكر أن الميل عند أي نقطة على الخط يساوي مشتق معادلة الخط المستقيم. نظرًا لأن الخط المستخدم يوضح إزاحة جسم ما بمرور الوقت ، ولأن السرعة اللحظية لجسم ما هي مشتق إزاحته عند نقطة معينة ، كما رأينا في القسم السابق ، فيمكننا أيضًا تحديد أن "2 متر / ثانية "هي القيمة التقريبية للسرعة اللحظية عند t = 1.

طريقة 3 من 3: نماذج الأسئلة

الخطوة 1. أوجد قيمة السرعة اللحظية عند t = 4 من معادلة الإزاحة s = 5t³ - 3 طن² + 2 طن + 9.

هذه المسألة مماثلة للمثال الوارد في الجزء الأول ، فيما عدا أن هذه المعادلة هي معادلة تكعيبية وليست معادلة قوة ، لذا يمكننا حل هذه المسألة بنفس الطريقة.

• أولاً ، نأخذ مشتق المعادلة:

ق = 5 طن³- 3 طن²+ 2 طن + 9

ق = (3) 5 طن^{(3 - 1)} - (2) 3 طن^{(2 - 1)} + (1) 2 ت^{(1 - 1) + (0) 9 طن0 - 1}

15 ت⁽²⁾ - 6 طن⁽¹⁾ + 2 ت⁽⁰⁾

15 ت⁽²⁾ - 6 طن + 2

• ثم أدخل قيمة t (4):

ق = 15 طن⁽²⁾- 6 طن + 2

15(4)⁽²⁾- 6(4) + 2

15(16) - 6(4) + 2

240 - 24 + 2 = 22 مترا / ثانية

الخطوة 2. استخدم تقديرًا رسوميًا لإيجاد السرعة اللحظية عند (1 ، 3) لمعادلة الإزاحة s = 4t² - ت.

بالنسبة لهذه المشكلة ، سنستخدم (1 ، 3) كنقطة P ، لكن علينا تحديد نقطة أخرى مجاورة لتلك النقطة على أنها النقطة Q. ثم نحتاج فقط إلى تحديد قيمة H وإجراء تقدير.

• أولاً ، أوجد قيمة Q أولاً عند t = 2 و 1.5 و 1.1 و 1.01.

ق = 4 طن²- ت

ر = 2:

ق = 4 (2)²- (2)

4 (4) - 2 = 16-2 = 14 ، إذن س = (2 ، 14)

ر = 1.5:

ق = 4 (1.5)² - (1.5)

4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5 ، إذن س = (1.5 ، 7.5)

ر = 1.1:

ق = 4 (1.1)² - (1.1)

4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74 ، إذن س = (1.1 ، 3.74)

ر = 1.01:

ق = 4 (1.01)² - (1.01)

4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704 ، إذن س = (1.01 ، 3.0704)

• ثم حدد قيمة H:

س = (2 ، 14):

ع = (14-3) / (2-1)

ع = (11) / (1) =

الخطوة 11.

س = (1.5 ، 7.5):

ع = (7.5 - 3) / (1.5 - 1)

H = (4.5) / (. 5) =

الخطوة 9.

س = (1.1 ، 3.74):

ع = (3.74 - 3) / (1.1 - 1)

H = (.74) / (. 1) = 7.3

س = (1.01 ، 3.0704):

ع = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)

H = (.0704) / (. 01) = 7.04

• نظرًا لأن قيمة H قريبة جدًا من 7 ، فيمكننا ذكر ذلك 7 أمتار / ثانية هي السرعة اللحظية التقريبية عند (1 ، 3).

نصائح

• لإيجاد قيمة العجلة (التغير في السرعة بمرور الوقت) ، استخدم الطريقة الموضحة في القسم الأول للحصول على معادلة مشتقة دالة الإزاحة. ثم قم بإنشاء المعادلة المشتقة مرة أخرى ، هذه المرة من المعادلة المشتقة. سيعطيك هذا المعادلة لإيجاد التسارع في أي وقت ، كل ما عليك فعله هو إدخال القيمة الزمنية الخاصة بك.
• قد تكون المعادلة التي تربط قيمة Y (الإزاحة) بـ X (الوقت) بسيطة جدًا ، على سبيل المثال Y = 6x + 3. في هذه الحالة ، تكون قيمة الميل ثابتة ، ولا داعي لإيجاد المشتق لحسابها ، حيث وفقًا لمعادلة الخط المستقيم ، Y = mx + b ستساوي 6.
• الإزاحة تشبه المسافة ، لكن لها اتجاه ، لذا فإن الإزاحة كمية متجهة ، بينما المسافة هي كمية قياسية. يمكن أن تكون قيمة الإزاحة سالبة ، لكن المسافة ستكون دائمًا موجبة.