عندما يتم تمثيلها بيانياً ، تكون المعادلة التربيعية من الشكل فأس2 + ب س + ج أو أ (س - ح)2 + ك من الحرف U أو منحنى U مقلوب يسمى القطع المكافئ. رسم المعادلة التربيعية بالرسم البياني هو البحث عن الرأس والاتجاه وغالبًا تقاطع x و y. في حالات المعادلات التربيعية البسيطة إلى حد ما ، قد يكون إدخال مجموعة من قيم x ورسم المنحنى بناءً على النقاط الناتجة كافيًا. انظر الخطوة 1 أدناه للبدء.
خطوة
الخطوة الأولى. حدد شكل المعادلة التربيعية التي لديك
يمكن كتابة المعادلات التربيعية في ثلاثة أشكال مختلفة: الشكل العام ، وصيغة الرأس ، والصيغة التربيعية. يمكنك استخدام أي نموذج لرسم معادلة تربيعية ؛ تختلف عملية تصوير كل رسم بياني اختلافًا طفيفًا. إذا كنت تقوم بواجب منزلي ، فستتلقى عادةً أسئلة في أحد هذين النموذجين - بمعنى آخر ، لن تتمكن من الاختيار ، لذلك من الأفضل فهم كليهما. شكلا المعادلة التربيعية هما:
-
الشكل العام.
في هذا النموذج ، تتم كتابة المعادلة التربيعية على النحو التالي: f (x) = ax2 + bx + c حيث a و b و c أعداد حقيقية و a ليست صفراً.
على سبيل المثال ، معادلتان تربيعيتان للصيغة العامة هما f (x) = x2 + 2x + 1 و f (x) = 9x2 + 10x -8.
-
شكل الذروة.
في هذا النموذج ، تتم كتابة المعادلة التربيعية على النحو التالي: f (x) = a (x - h)2 + k حيث a و h و k أعداد حقيقية و a ليست صفراً. يطلق عليه شكل الرأس لأن h و k سيعطيان على الفور رأس (نقطة المنتصف) للقطع المكافئ الخاص بك عند النقطة (h ، k).
معادلتا صيغة الرأس هما f (x) = 9 (x - 4)2 + 18 و -3 (× - 5)2 + 1
- لرسم أي نوع من المعادلات بيانيًا ، علينا أولاً إيجاد رأس القطع المكافئ ، وهو نقطة المنتصف (h ، k) في نهاية المنحنى. تُحسب إحداثيات القمم في الشكل العام على النحو التالي: h = -b / 2a و k = f (h) ، بينما في شكل الذروة ، h و k في المعادلة.
الخطوة 2. تحديد المتغيرات الخاصة بك
لحل مشكلة تربيعية ، يجب عادةً تحديد المتغيرات a و b و c (أو a و h و k). ستعطي مسألة الجبر العادية معادلة من الدرجة الثانية مع المتغيرات المتاحة ، عادة في شكل عام ، ولكن في بعض الأحيان في شكل الذروة.
- على سبيل المثال ، لمعادلة الصيغة العامة f (x) = 2x2 + 16x + 39 ، لدينا أ = 2 ، ب = 16 ، ج = 39.
- لمعادلة شكل الذروة f (x) = 4 (x - 5)2 + 12 ، لدينا أ = 4 ، ع = 5 ، ك = 12.
الخطوة 3. احسب h
في معادلة شكل الرأس ، تم تقديم قيمة h بالفعل ، ولكن في معادلة الصيغة العامة ، يجب حساب قيمة h. تذكر أنه بالنسبة للمعادلات ذات الصورة العامة ، h = -b / 2a.
- في مثالنا العام بالصيغة (f (x) = 2x2 + 16x + 39) ، h = -b / 2a = -16/2 (2). بعد الحل ، نجد أن h = - 4.
- في مثالنا على شكل الرأس (f (x) = 4 (x - 5)2 + 12) ، نعلم أن h = 5 بدون إجراء أي حسابات.
الخطوة 4. احسب k
مثل h ، k معروف بالفعل في معادلة شكل الذروة. بالنسبة للمعادلات ذات الشكل العام ، تذكر أن k = f (h). بمعنى آخر ، يمكنك إيجاد k باستبدال جميع قيم x في معادلتك بقيم h التي وجدتها للتو.
-
لقد حددنا بالفعل في مثالنا العام أن h = -4. لإيجاد k ، نحل المعادلة بالتعويض عن h بدلاً من x:
- ك = 2 (-4)2 + 16(-4) + 39.
- ك = 2 (16) - 64 + 39.
-
ك = 32 - 64 + 39 =
الخطوة 7.
- في مثالنا على شكل الذروة ، مرة أخرى ، نعرف قيمة k (وهي 12) دون الحاجة إلى إجراء أي حسابات.
الخطوة 5. ارسم ذروتك
رأس القطع المكافئ الخاص بك هو النقطة (h، k) - h يمثل الإحداثي x ، بينما يمثل k الإحداثي y. الرأس هو نقطة المنتصف للقطع المكافئ - إما في أسفل U أو في الجزء العلوي من الشكل U. تعد معرفة الرؤوس جزءًا مهمًا من رسم القطع المكافئ الدقيق - غالبًا ، في العمل المدرسي ، يكون تحديد الرأس هو الجزء الذي يجب البحث عنه في السؤال.
- في مثالنا العام ، تكون قمتنا (-4 ، 7). وبالتالي ، فإن القطع المكافئ الخاص بنا سيبلغ ذروته 4 خطوات إلى اليسار من 0 و 7 خطوات أعلاه (0 ، 0). يجب أن نصور هذه النقطة في الرسم البياني ، مع التأكد من تحديد الإحداثيات.
- في مثالنا على شكل الرأس ، يكون الرأس هو (5 ، 12). علينا أن نرسم نقطة 5 خطوات إلى اليمين و 12 خطوة أعلاه (0 ، 0).
الخطوة 6. ارسم محور القطع المكافئ (اختياري)
محور تناظر القطع المكافئ هو خط يمر عبر مركزه ، ويقسمه بالضبط في المنتصف. على هذا المحور ، سيعكس الجانب الأيسر من القطع المكافئ الجانب الأيمن. للمعادلات التربيعية في شكل فأس2 + ب س + ج أو أ (س - ح)2 + k ، محور التناظر هو الخط الموازي للمحور y (بمعنى آخر ، عمودي تمامًا) ويمر عبر الرأس.
في حالة مثالنا العام ، المحور هو الخط الموازي للمحور y ويمر بالنقطة (-4 ، 7). على الرغم من أنه ليس جزءًا من القطع المكافئ ، فإن وضع علامة رفيعة على هذا الخط على الرسم البياني سيساعدك في النهاية على رؤية الشكل المتماثل لمنحنى القطع المكافئ
الخطوة 7. ابحث عن اتجاه فتحة القطع المكافئ
بعد معرفة ذروة ومحور القطع المكافئ ، نحتاج بعد ذلك إلى معرفة ما إذا كان القطع المكافئ ينفتح لأعلى أم لأسفل. لحسن الحظ ، هذا سهل. إذا كانت قيمة a موجبة ، سيتم فتح القطع المكافئ لأعلى ، بينما إذا كانت قيمة a سالبة ، سيتم فتح القطع المكافئ لأسفل (أي سيتم عكس القطع المكافئ).
- بالنسبة لمثال النموذج العام لدينا (f (x) = 2x2 + 16x + 39) ، نعلم أن لدينا قطعًا مكافئًا ينفتح لأنه في معادلتنا ، a = 2 (موجب).
- بالنسبة لمثال شكل الرأس (f (x) = 4 (x - 5)2 + 12) ، نعلم أن لدينا أيضًا قطع مكافئ ينفتح لأن أ = 4 (موجب).
الخطوة 8. إذا لزم الأمر ، ابحث عن تقاطع x وارسمه
في كثير من الأحيان ، في العمل المدرسي ، سيُطلب منك العثور على تقاطع x في القطع المكافئ (وهي نقطة أو نقطتان حيث يلتقي القطع المكافئ مع المحور السيني). حتى إذا لم تعثر على واحدة ، فإن هاتين النقطتين مهمتان جدًا لرسم القطع المكافئ الدقيق. ومع ذلك ، ليست كل القطع المكافئة لها تقاطع إكس. إذا كان القطع المكافئ الخاص بك يحتوي على رأس ينفتح لأعلى ويكون رأسه فوق المحور x أو إذا كان ينفتح لأسفل ويكون رأسه أسفل المحور x ، لن يكون للقطع المكافئ تقاطع إكس. خلافًا لذلك ، قم بحل تقاطع x الخاص بك بإحدى الطرق التالية:
-
فقط اجعل f (x) = 0 وحل المعادلة. يمكن استخدام هذه الطريقة في المعادلات التربيعية البسيطة ، خاصة في شكل الذروة ، ولكنها ستكون صعبة للغاية بالنسبة للمعادلات المعقدة. إنظر في الأسفل للمثال
- و (س) = 4 (س - 12)2 - 4
- 0 = 4 (× - 12)2 - 4
- 4 = 4 (× - 12)2
- 1 = (س - 12)2
- الجذر (1) = (x - 12)
- +/- 1 = س -12. س = 11 و 13 هو تقاطع x في القطع المكافئ.
-
حلل المعادلة إلى عوامل. بعض المعادلات في شكل فأس2 + bx + c يمكن بسهولة تحليلها إلى عوامل في الشكل (dx + e) (fx + g) ، حيث dx × fx = ax2، (dx × g + fx × e) = bx ، و e × g = c. في هذه الحالة ، فإن تقاطعات x الخاصة بك هي قيم x والتي ستجعل أي مصطلح بين قوسين = 0. على سبيل المثال:
- x2 + 2x + 1
- = (س + 1) (س + 1)
- في هذه الحالة ، تقاطع x الوحيد هو -1 لأن جعل x يساوي -1 سيجعل أي حد عامل بين قوسين يساوي 0.
-
استخدم الصيغة التربيعية. إذا لم تتمكن من حل تقاطع x أو تحليل المعادلة الخاصة بك بسهولة ، فاستخدم معادلة خاصة تسمى الصيغة التربيعية التي تم إنشاؤها لهذا الغرض. إذا لم يتم حلها بعد ، فحول المعادلة إلى صيغة ax2 + bx + c ، ثم أدخل a و b و c في الصيغة x = (-b +/- sqrt (b)2 - 4 أ)) / 2 أ. لاحظ أن هذه الطريقة تمنحك غالبًا إجابتين لقيمة x ، وهو أمر جيد - فهذا يعني فقط أن القطع المكافئ الخاص بك به تقاطعان x. إنظر في الأسفل للمثال:
- -5x2 يتم وضع + 1x + 10 في الصيغة التربيعية مثل هذا:
- س = (-1 +/- جذر (1.)2 - 4(-5)(10)))/2(-5)
- س = (-1 +/- جذر (1 + 200)) / - 10
- س = (-1 +/- جذر (201)) / - 10
- س = (-1 +/- 14 ، 18) / - 10
- س = (13 ، 18 / -10) و (-15 ، 18 / -10). تقاطع x في القطع المكافئ هو x = - 1, 318 و 1, 518
- مثالنا السابق للشكل العام ، 2x2 يتم وضع + 16x + 39 في الصيغة التربيعية على النحو التالي:
- س = (-16 +/- جذر (162 - 4(2)(39)))/2(2)
- س = (-16 +/- جذر (256-312)) / 4
- س = (-16 +/- جذر (-56) / - 10
- بما أنه من المستحيل إيجاد الجذر التربيعي لعدد سالب ، فإننا نعلم أن هذا القطع المكافئ ليس له تقاطع س.
الخطوة 9. إذا لزم الأمر ، ابحث عن تقاطع y وارسمه
في حين أنه ليس من الضروري غالبًا البحث عن تقاطع y في المعادلات (النقطة التي يمر فيها القطع المكافئ عبر المحور الصادي) ، فقد تضطر في النهاية إلى العثور عليه ، خاصة إذا كنت في المدرسة. العملية بسيطة إلى حد ما - فقط اجعل x = 0 ، ثم حل معادلتك لـ f (x) أو y ، والتي تعطي قيمة y حيث يمر القطع المكافئ عبر المحور y. على عكس التقاطع x ، يمكن أن يكون للقطع المكافئ العادي تقاطع y واحد فقط. ملاحظة - بالنسبة للمعادلات ذات الصورة العامة ، يكون تقاطع y عند y = c.
-
على سبيل المثال ، نعلم أن معادلتنا التربيعية هي 2x2 + 16x + 39 له تقاطع y عند y = 39 ، ولكن يمكن العثور عليه أيضًا بالطريقة التالية:
- و (س) = 2 س2 +16 س + 39
- و (س) = 2 (0)2 + 16(0) + 39
-
f (x) = 39. تقاطع y للقطع المكافئ عند ص = 39.
كما هو مذكور أعلاه ، يقع تقاطع y عند y = c.
-
صيغة معادلة الرأس لدينا هي 4 (x - 5)2 + 12 له تقاطع ص والذي يمكن إيجاده بالطريقة التالية:
- و (س) = 4 (س - 5)2 + 12
- و (س) = 4 (0-5)2 + 12
- و (س) = 4 (-5)2 + 12
- و (س) = 4 (25) + 12
-
f (x) = 112. تقاطع y للقطع المكافئ عند ص = 112.
ارسم معادلة من الدرجة الثانية الخطوة 10 الخطوة 10. إذا لزم الأمر ، ارسم نقاطًا إضافية ، ثم ارسم رسمًا بيانيًا
الآن لديك الرأس ، والاتجاه ، وتقاطع x ، وربما تقاطع y في المعادلة. في هذه المرحلة ، يمكنك محاولة رسم القطع المكافئ باستخدام النقاط التي لديك كدليل ، أو البحث عن نقاط أخرى لملء القطع المكافئ الخاص بك بحيث يكون المنحنى الذي ترسمه أكثر دقة. أسهل طريقة للقيام بذلك هي إدخال بعض قيم x في أي جانب من رأسك ، ثم رسم هذه النقاط باستخدام قيم y التي تحصل عليها. في كثير من الأحيان ، يطلب منك المعلمون البحث عن عدة نقاط قبل رسم القطع المكافئ.
-
لنراجع المعادلة س2 + 2x + 1. نعلم بالفعل أن تقاطع x يقع فقط عند x = -1. نظرًا لأن المنحنى لا يلمس سوى الجزء المقطوع من x عند نقطة واحدة ، فيمكننا أن نستنتج أن الرأس هو الجزء المقطوع من المحور x ، مما يعني أن الرأس هو (-1 ، 0). لدينا بالفعل نقطة واحدة فقط لهذا القطع المكافئ - ليست كافية لرسم قطع مكافئ جيد. دعنا نبحث عن بعض النقاط الأخرى للتأكد من أننا نرسم رسمًا بيانيًا شاملاً.
- لنجد قيم y لقيم x التالية: 0 و 1 و -2 و -3.
- لـ 0: f (x) = (0)2 + 2 (0) + 1 = 1. وجهة نظرنا هي (0, 1).
-
لـ 1: f (x) = (1)2 + 2 (1) + 1 = 4. وجهة نظرنا هي (1, 4).
- من أجل -2: f (x) = (-2)2 + 2 (-2) + 1 = 1. وجهة نظرنا هي (-2, 1).
-
ل -3: و (س) = (-3)2 + 2 (-3) + 1 = 4. وجهة نظرنا هي (-3, 4).
- ارسم هذه النقاط على الرسم البياني وارسم منحنى على شكل حرف U. لاحظ أن القطع المكافئ متماثل تمامًا - عندما تكون النقاط على جانب واحد من القطع المكافئ أعدادًا صحيحة ، يمكنك عادةً تقليل عمل عكس نقطة معينة على محور التناظر للقطع المكافئ للعثور على نفس النقطة على الجانب الآخر من القطع المكافئ.
نصائح
- تقريب الأرقام أو استخدم الكسور وفقًا لطلب معلم الجبر. سيساعدك هذا على رسم المعادلة التربيعية بشكل أفضل.
- لاحظ أنه في f (x) = ax2 + bx + c ، إذا كان b أو c يساوي صفرًا ، فستختفي هذه الأرقام. على سبيل المثال ، 12x2 + 0x + 6 يصبح 12x2 + 6 لأن 0x تساوي 0.
