المعادلة الكسرية هي كسر بمتغير واحد أو أكثر في البسط أو المقام. المعادلة المنطقية هي أي كسر يتضمن معادلة منطقية واحدة على الأقل. مثل المعادلات الجبرية العادية ، يتم حل المعادلات المنطقية عن طريق إجراء نفس العملية على جانبي المعادلة حتى يمكن نقل المتغيرات إلى أي من جانبي المعادلة. طريقتان خاصتان ، الضرب العرضي وإيجاد القاسم المشترك الأصغر ، هما طريقتان مفيدتان جدًا لتحريك المتغيرات وحل المعادلات المنطقية.
خطوة
طريقة 1 من 2: الضرب المتقاطع
الخطوة 1. إذا لزم الأمر ، أعد ترتيب المعادلة للحصول على كسر في جانب واحد من المعادلة
الضرب التبادلي هو طريقة سريعة وسهلة لحل المعادلات المنطقية. لسوء الحظ ، لا يمكن استخدام هذه الطريقة إلا للمعادلات المنطقية التي تحتوي على معادلة أو كسر منطقي واحد على الأقل في كل جانب من جوانب المعادلة. إذا كانت معادلتك لا تفي بمتطلبات المنتجات المتقاطعة هذه ، فقد تضطر إلى استخدام العمليات الجبرية لنقل الأجزاء إلى الأماكن الصحيحة.
-
على سبيل المثال ، يمكن بسهولة وضع المعادلة (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 في شكل منتج متقاطع عن طريق إضافة x / (- 2) إلى كلا طرفي المعادلة ، بحيث تصبح (x + 3) / 4 = س / (- 2).
لاحظ أنه يمكن تحويل الأعداد الصحيحة والعشرية إلى كسور بإعطاء المقام 1. (س + 3) / 4-2 ، 5 = 5 ، على سبيل المثال ، يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي (س + 3) / 4 = 7 ، 5 / 1 ، مما يجعلها تفي بشرط الضرب المتقاطع
- لا يمكن اختزال بعض المعادلات المنطقية بسهولة إلى صيغة بها كسر واحد أو معادلة منطقية في كل جانب. في مثل هذه الحالات ، استخدم نفس أسلوب المقام الأقل.
الخطوة 2. عبر الضرب
الضرب التبادلي يعني ضرب أحد بسط الكسر في مقام كسر آخر والعكس صحيح. اضرب بسط الكسر الموجود على اليسار في مقام الكسر الموجود على اليمين. كرر مع المقام الأيمن مع المقام الأيسر.
يعمل الضرب التبادلي وفقًا للمبادئ الجبرية الأساسية. يمكن تحويل المعادلات المنطقية والكسور الأخرى إلى كسور بضربها في المقام. الضرب التبادلي هو في الأساس طريقة سريعة لضرب طرفي المعادلة في كلا المقامين. لا تصدق؟ جربها - ستحصل على نفس النتيجة بعد تبسيطها
الخطوة 3. اجعل المنتجين متساويين
بعد الضرب التبادلي ، ستحصل على نتيجتين من نتائج الضرب. اجعلها متساوية مع بعضها البعض وقم بتبسيطها لجعل المعادلة بسيطة قدر الإمكان.
على سبيل المثال ، إذا كانت معادلتك المنطقية الأصلية هي (س + 3) / 4 = س / (- 2) ، بعد الضرب التبادلي ، تصبح معادلتك الجديدة -2 (س + 3) = 4x. إذا كنت تريد ، يمكنك أيضًا كتابتها كـ -2x - 6 = 4x
الخطوة 4. أوجد قيمة المتغير الخاص بك
استخدم العمليات الجبرية لإيجاد قيمة متغير المعادلة. تذكر أنه إذا ظهرت x على طرفي المعادلة ، فيجب عليك إضافة أو طرح x من كلا طرفي المعادلة لترك x في جانب واحد فقط من المعادلة.
في مثالنا ، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على -2 ، لذا س + 3 = -2 س. بطرح x من كلا الطرفين نحصل على 3 = -3x. أخيرًا ، بقسمة كلا الطرفين على -3 ، تصبح النتيجة -1 = س ، والتي يمكن كتابتها في صورة س = -1. لقد أوجدنا قيمة x ، في حل معادلتنا الكسرية
طريقة 2 من 2: إيجاد المقام المشترك الأصغر
الخطوة 1. تعرف على الوقت المحدد لاستخدام نفس المقام الأصغر
يمكن استخدام نفس المقام الأصغر لتبسيط المعادلات المنطقية ، مما يجعلها قابلة للبحث عن القيم المتغيرة. يُعد العثور على المقام المشترك الأصغر فكرة جيدة إذا لم يكن من السهل كتابة المعادلة المنطقية بدلالة كسر واحد (وكسر واحد فقط) على كل جانب من جوانب المعادلة. من أجل حل المعادلات المنطقية المكونة من ثلاثة أجزاء أو أكثر ، يكون المقام المشترك الأصغر مفيدًا. ومع ذلك ، لحل معادلة منطقية من جزأين فقط ، يكون من الأسرع استخدام حاصل الضرب الاتجاهي.
الخطوة 2. تحقق من مقام كل كسر
حدد أصغر رقم يمكن أن يقسمه كل مقام وينتج عددًا صحيحًا. هذا الرقم هو القاسم المشترك الأصغر لمعادلتك.
- أحيانًا يكون القاسم المشترك الأصغر - أي أصغر عدد يحتوي على جميع العوامل في المقام - مرئيًا بوضوح. على سبيل المثال ، إذا كانت معادلتك هي x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6 ، فليس من الصعب رؤية أصغر رقم له عوامل 3 و 2 و 6 ، وهو الرقم 6.
- ومع ذلك ، في كثير من الأحيان ، لا يكون القاسم المشترك الأقل في المعادلة العقلانية مرئيًا بوضوح. في مثل هذه الحالة ، جرب التحقق من مضاعفات المقام الأكبر حتى تجد رقمًا له عامل من جميع المقامات الأصغر الأخرى. غالبًا ما يكون أقل القاسم المشترك هو حاصل ضرب مقومين. على سبيل المثال ، في المعادلة x / 8 + 2/6 = (x-3) / 9 ، فإن المقام المشترك الأصغر هو 8 * 9 = 72.
- إذا كان لواحد أو أكثر من مقامات الكسر متغيرات ، فإن هذه العملية تكون أكثر صعوبة ، ولكن من الممكن القيام بها. في مثل هذه الحالة ، فإن القاسم المشترك الأصغر هو معادلة (ذات متغير) قابلة للقسمة على جميع القواسم الأخرى. على سبيل المثال في المعادلة 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x) ، فإن المقام المشترك الأصغر هو 3x (x-1) لأن أي مقام يمكن أن يقسمه - القسمة على (x-1) تعطي 3x ، بالقسمة على 3x نحصل على (x-1) ، والقسمة على x نحصل على 3 (x-1).
الخطوة 3. اضرب كل كسر في المعادلة الكسرية في 1
يبدو أن ضرب كل جزء في 1 عديم الفائدة. لكن ها هي الحيلة. يمكن تعريف 1 على أنه أي رقم متماثل في كل من البسط والمقام ، مثل -2/2 و 3/3 ، وهي الطريقة الصحيحة لكتابة 1. هذه الطريقة تستفيد من التعريف البديل. اضرب كل كسر في معادلتك الكسرية في 1 ، اكتب الرقم 1 الذي يعطي عند ضربه في المقام أصغر مقام مشترك.
- في مثالنا الأساسي ، سنضرب x / 3 في 2/2 لنحصل على 2x / 6 ونضرب 1/2 في 3/3 لنحصل على 3/6. 2x + 1/6 لهما نفس المقام الأصغر ، وهو 6 ، لذا يمكننا ضربه في 1/1 أو تركه بمفرده.
- في مثالنا مع متغير في مقام الكسر ، تكون العملية أكثر تعقيدًا بعض الشيء. نظرًا لأن أصغر مقام لدينا هو 3x (x-1) ، فإننا نضرب كل معادلة كسرية في شيء يُرجع 3x (x-1). سنقوم بضرب 5 / (x-1) في (3x) / (3x) مما يعطي 5 (3x) / (3x) (x-1) ، ونضرب 1 / x في 3 (x-1) / 3 (x- 1) الذي يعطي 3 (x-1) / 3x (x-1) ، وضرب 2 / (3x) في (x-1) / (x-1) يعطي 2 (x-1) / 3x (x- 1)).
الخطوة 4. بسّط وإيجاد قيمة x
الآن ، بما أن كل جزء من المعادلة الكسرية له نفس المقام ، يمكنك إزالة المقام من المعادلة وإيجاد البسط. اضرب طرفي المعادلة للحصول على قيمة البسط. ثم استخدم العمليات الجبرية لإيجاد قيمة x (أو أي متغير تريد حله) في أحد طرفي المعادلة.
- في مثالنا الأساسي ، بعد ضرب كل الأجزاء بالصيغة البديلة 1 ، نحصل على 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. يمكن إضافة كسرين إذا كان لهما نفس المقام ، لذا يمكننا تبسيط هذه المعادلة إلى (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 دون تغيير القيمة. اضرب كلا الطرفين في 6 لإزالة المقام ، فتكون النتيجة 2x + 3 = 3x + 1. اطرح 1 من كلا الطرفين لتحصل على 2x + 2 = 3x ، واطرح 2x من كلا الطرفين لتحصل على 2 = x ، والتي يمكن كتابتها كـ x = 2.
- في مثالنا مع متغير في المقام ، تصبح معادلتنا بعد الضرب في 1 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 (x-1)) / 3x (x-1). يصبح ضرب جميع الأجزاء في نفس المقام الأصغر ، مما يسمح لنا بحذف المقام ، 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). ينطبق هذا أيضًا على 5x = 3x - 3 + 2x -2 ، والتي تبسط إلى 15x = x - 5. طرح x من كلا الجانبين يعطي 14x = -5 ، والذي ، في النهاية ، يبسط إلى x = -5/14.
نصائح
- عندما تحل المتغير ، تحقق من إجابتك عن طريق إدخال قيمة المتغير في المعادلة الأصلية. إذا كانت قيمة المتغير صحيحة ، فيمكنك تبسيط معادلتك الأصلية في عبارة بسيطة تساوي دائمًا 1 = 1.
- لاحظ أنه يمكنك كتابة أي كثير حدود في صورة معادلة منطقية ؛ ضعها فوق المقام 1. إذن ، x + 3 و (x + 3) / 1 لهما نفس القيمة ، لكن يمكن تصنيف المعادلة الثانية على أنها معادلة منطقية لأنها مكتوبة في صورة كسر.
