3 طرق لحل المعادلات التربيعية

2025 مؤلف: Jason Gerald | [email protected]. آخر تعديل: 2025-01-23 12:06

المعادلة التربيعية هي معادلة أعلى درجة هي 2 (تربيع). هناك ثلاث طرق رئيسية لحل المعادلة التربيعية: تحليل المعادلة التربيعية إلى عوامل إذا أمكن ، باستخدام صيغة تربيعية ، أو إكمال المربع. إذا كنت تريد إتقان هذه الطرق الثلاث ، فاتبع هذه الخطوات.

خطوة

طريقة 1 من 3: تحليل المعادلات

الخطوة 1. اجمع كل المتغيرات المتساوية وانقلها إلى جانب واحد من المعادلة

الخطوة الأولى لتحليل المعادلة هي نقل جميع المتغيرات المتساوية إلى جانب واحد من المعادلة ، مع x²هو إيجابي. لتجميع المتغيرات ، اجمع أو اطرح كل المتغيرات x² و x و الثوابت (أعداد صحيحة) ، انقلهم إلى الجانب الآخر من المعادلة حتى لا يبقى شيء على الجانب الآخر. عندما لا توجد متغيرات متبقية في الجانب الآخر ، اكتب 0 بجوار علامة يساوي. هيريس كيفية القيام بذلك:

• 2x² - 8 س - 4 = 3 س - س²
• 2x² + س² - 8x -3x - 4 = 0
• 3x² - 11x - 4 = 0

الخطوة 2. حلل هذه المعادلة إلى عوامل

لتحليل هذه المعادلة ، يجب عليك استخدام العامل x² (3) والعامل الثابت (-4) وضربهما وإضافتهما لملاءمة المتغير في المنتصف (-11). هيريس كيفية القيام بذلك:

• 3x² عامل واحد محتمل وهو 3x و x ، يمكنك كتابتهما بين قوسين: (3x +/-؟) (x +/-؟) = 0.
• بعد ذلك ، استخدم عملية الحذف لعامل 4 للعثور على المنتج الذي ينتج -11x. يمكنك استخدام حاصل ضرب 4 و 1 ، أو 2 و 2 ، لأنك عندما تضرب كلاهما تحصل على 4. لكن تذكر أن أحد الأرقام يجب أن يكون سالبًا لأن النتيجة هي -4.
• جرب (3x + 1) (x - 4). عندما تضربها ، تكون النتيجة - 3x² -12 س + س -4. إذا جمعت المتغيرين -12 x و x ، فستكون النتيجة -11x ، وهي القيمة الوسطى. لقد حللت للتو معادلة من الدرجة الثانية.
• على سبيل المثال ، لنحاول تحليل المنتج الآخر: (3x -2) (x +2) = 3x² + 6 × -2 × -4. إذا جمعت المتغيرات ، تكون النتيجة 3x² -4 × -4. على الرغم من أن عاملي -2 و 2 عند ضربهما ينتج -4 ، فإن المتوسط يختلف لأنك تريد الحصول على قيمة -11x بدلاً من -4x.

الخطوة 3. افترض أن كل قوس يساوي صفرًا في معادلة مختلفة

سيتيح لك ذلك العثور على قيم 2 x التي ستجعل معادلتك صفرًا. لقد حللت معادلتك إلى عوامل ، لذا كل ما عليك فعله هو افتراض أن الحساب في كل قوس يساوي صفرًا. هكذا ، يمكنك كتابة 3x + 1 = 0 و x - 4 = 0.

الخطوة 4. حل كل معادلة على حدة

في المعادلة التربيعية ، هناك قيمتان لـ x. حل كل معادلة على حدة عن طريق تحريك المتغيرات وكتابة إجابتين لـ x ، على النحو التالي:

• حل 3 س + 1 = 0

  • 3 س = -1….. بطرح
  • 3x / 3 = -1/3….. بالقسمة
  • x = -1/3….. عن طريق التبسيط

• حل x - 4 = 0

  س = 4….. بطرح

• x = (-1/3، 4)….. بجعل عدة إجابات ممكنة منفصلة ، بمعنى x = -1/3 أو x = 4 قد يكون كلاهما صحيحًا.

الخطوة 5. تحقق من x = -1/3 في (3x + 1) (x - 4) = 0:

وهكذا نحصل على (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4)؟ =؟ 0….. بالتعويض (-1 + 1) (- 4 1/3)؟ =؟ 0….. عن طريق التبسيط (0) (- 4 1/3) = 0….. بضرب ذلك ، 0 = 0….. نعم ، x = -1/3 صحيحة.

الخطوة 6. تحقق من x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:

وهكذا نحصل على (3 [4] + 1) ([4] - 4)؟ =؟ 0….. بالتعويض (13) (4 - 4)؟ =؟ 0….. عن طريق التبسيط (13) (0) = 0….. بضرب ذلك ، 0 = 0….. نعم ، x = 4 صحيح أيضًا.

لذلك ، بعد التحقق بشكل منفصل ، كلتا الإجابتين صحيحة ويمكن استخدامها في المعادلات

طريقة 2 من 3: استخدام الصيغة التربيعية

الخطوة 1. اجمع كل المتغيرات المتساوية وانقلها إلى جانب واحد من المعادلة

انقل كل المتغيرات إلى أحد طرفي المعادلة بقيمة المتغير x² إيجابي. اكتب المتغيرات ذات الأسس المتسلسلة ، بحيث تكون x² مكتوبًا أولاً ، متبوعًا بالمتغيرات ، ثم الثوابت. هيريس كيفية القيام بذلك:

• 4x² - 5 س - 13 = س² -5
• 4x² - س² - ٥ س - ١٣ + ٥ = ٠
• 3x² - 5 س - 8 = 0

الخطوة 2. اكتب الصيغة التربيعية

الصيغة التربيعية هي: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}

الخطوة 3. حدد قيم a و b و c من المعادلة التربيعية

المتغير أ هو المعامل س²، b هو معامل المتغير x ، و c ثابت. للمعادلة 3x² -5 س - 8 = 0 ، أ = 3 ، ب = -5 ، ج = -8. اكتب الثلاثة.

الخطوة 4. استبدل قيم a و b و c في المعادلة

بمجرد أن تعرف القيم الثلاثة المتغيرة ، قم بالتعويض عنها في معادلة مثل هذه:

• {-b +/- √ (ب² - 4ac)} / 2
• {-(-5) +/-√ ((-5)² - 4(3)(-8))}/2(3) =
• {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3)

الخطوة 5. قم بإجراء الحسابات

بمجرد إدخال الأرقام ، قم بإجراء بعض العمليات الحسابية لتبسيط الإشارة الموجبة أو السالبة ، أو اضرب أو تربيع المتغيرات المتبقية. هيريس كيفية القيام بذلك:

• {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3) =
• {5 +/-√(25 + 96)}/6
• {5 +/-√(121)}/6

الخطوة 6. بسّط الجذر التربيعي

إذا كان الرقم الموجود أسفل الجذر التربيعي مربعًا كاملًا ، فستحصل على عدد صحيح. إذا لم يكن العدد تربيعًا كاملاً ، فبسطه إلى أبسط صورة له. إذا كان الرقم سالبًا وتعتقد أنه يجب أن يكون سالبًا ، ستكون القيمة الجذرية معقدة. في هذا المثال ، (121) = 11. يمكنك كتابة x = (5 +/- 11) / 6.

الخطوة 7. ابحث عن الإجابات الإيجابية والسلبية

بمجرد إزالة علامة الجذر التربيعي ، يمكنك العمل على إيجاد نتيجة موجبة وسالبة لـ x. الآن وبعد أن أصبح لديك (5 +/- 11) / 6 ، يمكنك كتابة إجابتين:

• (5 + 11)/6
• (5 - 11)/6

الخطوة 8. أكمل الإجابات الإيجابية والسلبية

قم بإجراء العمليات الحسابية في الرياضيات:

• (5 + 11)/6 = 16/6
• (5-11)/6 = -6/6

الخطوة 9. التبسيط

لتبسيط كل إجابة ، اقسم على أكبر رقم يمكنه قسمة كلا العددين. اقسم الكسر الأول على 2 واقسم الثاني على 6 ، وستحصل على قيمة x.

• 16/6 = 8/3
• -6/6 = -1
• س = (-1 ، 8/3)

طريقة 3 من 3: أكمل المربع

الخطوة 1. انقل جميع المتغيرات إلى جانب واحد من المعادلة

تأكد من أن a أو المتغير x² إيجابي. هيريس كيفية القيام بذلك:

• 2x² - 9 = 12 س =

• 2x² - 12x - 9 = 0

  في هذه المعادلة ، المتغير a هو 2 ، والمتغير b هو -12 ، والمتغير c هو -9

الخطوة 2. انقل المتغير أو الثابت c إلى الجانب الآخر

الثوابت عبارة عن مصطلحات رقمية بدون متغيرات. انتقل إلى الجانب الأيمن من المعادلة:

• 2x² - 12x - 9 = 0
• 2x² - 12 س = 9

الخطوة 3. قسّم كلا الجانبين على المعامل a أو المتغير x².

إذا كان x² ليس له متغير والمعامل هو 1 ، يمكنك تخطي هذه الخطوة. في هذه الحالة ، عليك قسمة جميع المتغيرات على 2 ، على النحو التالي:

• 2x²/ 2-12 س / 2 = 9/2 =
• x² - 6 س = 9/2

الخطوة 4. قسّم b على 2 ، وربّعها ، وأضف النتيجة إلى كلا الجانبين

قيمة b في هذا المثال هي -6. هيريس كيفية القيام بذلك:

• -6/2 = -3 =
• (-3)² = 9 =
• x² - 6 س + 9 = 9/2 + 9

الخطوة 5. بسّط كلا الجانبين

حلل المتغير على الجانب الأيسر إلى عوامل للحصول على (x-3) (x-3) أو (x-3)². أضف القيم إلى اليمين لتحصل على 9/2 + 9 أو 9/2 + 18/2 ، وهي 27/2.

الخطوة 6. أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين

الجذر التربيعي لـ (x-3)² هو (x-3). يمكنك كتابة الجذر التربيعي لـ 27/2 بالشكل ± √ (27/2). وهكذا ، x - 3 = ± √ (27/2).

الخطوة 7. بسّط الجذور وإيجاد قيمة x

لتبسيط ± √ (27/2) ، أوجد المربع الكامل بين العددين 27 و 2 أو حلل هذا الرقم. يمكن إيجاد التربيع الكامل للرقم 9 في 27 لأن 9 × 3 = 27. لأخذ 9 من الجذر التربيعي ، خذ 9 من الجذر واكتب 3 ، الجذر التربيعي ، خارج الجذر التربيعي. اترك الباقي 3 في بسط الكسر أسفل الجذر التربيعي ، بما أن 27 لا تحل جميع العوامل ، واكتب 2 أدناه. بعد ذلك ، انقل الثابت 3 على الجانب الأيسر من المعادلة إلى اليمين ، واكتب حلين من أجل x:

• س = 3 + (6) / 2
• س = 3 - (√6) / 2)

نصائح

• كما ترى ، فإن علامات الجذر لن تختفي تمامًا. وبالتالي ، لا يمكن الجمع بين متغيرات البسط (لأنها غير متساوية). لا جدوى من تقسيمها إلى إيجابية أو سلبية. ومع ذلك ، يمكننا تقسيمها على نفس العامل ، ولكن فقط إذا كانت العوامل هي نفسها لكلا الثوابت و معامل الجذر.
• إذا لم يكن الرقم الموجود أسفل الجذر التربيعي مربعًا كاملًا ، فإن الخطوات القليلة الأخيرة مختلفة قليلاً. هذا مثال:
• إذا كانت b عددًا زوجيًا ، تصبح الصيغة: {- (b / 2) +/- (b / 2) -ac} / a.