3 طرق لحل المعادلات التكعيبية

2024 مؤلف: Jason Gerald | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-16 19:08

عندما تجد المعادلة التكعيبية لأول مرة (والتي تكون على شكل فأس ³ + bx ² + cx + d = 0) ، ربما تعتقد أنه سيكون من الصعب حل المشكلة. لكن اعلم أن حل المعادلات التكعيبية كان موجودًا بالفعل منذ قرون! هذا الحل ، الذي اكتشفه عالم الرياضيات الإيطالي نيكولو تارتاليا وجيرولامو كاردانو في القرن الخامس عشر الميلادي ، هو أحد الصيغ الأولى المعروفة في اليونان القديمة وروما. قد يكون حل المعادلات التكعيبية أمرًا صعبًا بعض الشيء ، ولكن بالطريقة الصحيحة (والمعرفة الكافية) ، يمكن حل حتى أصعب المعادلات التكعيبية.

خطوة

طريقة 1 من 3: حل المعادلات التربيعية

الخطوة الأولى: تحقق مما إذا كانت المعادلة التكعيبية بها ثابت

كما هو مذكور أعلاه ، فإن شكل المعادلة التكعيبية هو الفأس ³ + bx ² + cx + d = 0. يمكن أن تكون قيمة b و c وقيمة d 0 دون التأثير على شكل هذه المعادلة التكعيبية ؛ هذا يعني في الأساس أن المعادلة التكعيبية لا يجب أن تتضمن دائمًا قيمة bx ²أو cx أو d معادلة تكعيبية. لبدء استخدام هذه الطريقة السهلة إلى حد ما لحل المعادلات التكعيبية ، تحقق لمعرفة ما إذا كانت معادلتك التكعيبية لها ثابت (أو قيمة د). إذا لم يكن لمعادلتك قيمة ثابتة أو قيمة لـ d ، فيمكنك استخدام معادلة تربيعية للعثور على إجابة المعادلة التكعيبية بعد بضع خطوات.

من ناحية أخرى ، إذا كانت معادلتك ذات قيمة ثابتة ، فستحتاج إلى حل آخر. انظر الخطوات أدناه للحصول على مناهج أخرى

الخطوة 2. حلل قيمة x من المعادلة التكعيبية إلى عوامل

نظرًا لأن معادلتك لا تحتوي على قيمة ثابتة ، فإن جميع مكوناتها تحتوي على المتغير x. هذا يعني أنه يمكن إخراج قيمة x هذه إلى عوامل من المعادلة لتبسيطها. قم بهذه الخطوة وأعد كتابة المعادلة التكعيبية بالصيغة x (ax ² + ب س + ج).

على سبيل المثال ، لنفترض أن المعادلة التكعيبية الأصلية هنا هي 3 س ³ + -2 س ² + 14 x = 0. بالتحليل إلى متغير واحد x من هذه المعادلة ، نحصل على المعادلة x (3 x ² + -2 س + 14) = 0.

الخطوة 3. استخدم المعادلات التربيعية لحل المعادلات بين قوسين

قد تلاحظ أن بعض معادلاتك الجديدة ، المحاطة بأقواس ، هي في شكل معادلة من الدرجة الثانية (ax ² + ب س + ج). هذا يعني أنه يمكننا إيجاد القيمة اللازمة لجعل هذه المعادلة مساوية للصفر عن طريق التعويض عن a و b و c في صيغة المعادلة التربيعية ({- b +/- √ (b ²- 4 ب)} / 2 أ). قم بإجراء هذه العمليات الحسابية لإيجاد إجابتين لمعادلة تكعيبية.

• في مثالنا ، عوض بقيم a و b و c (3 و -2 و 14 على التوالي) في المعادلة التربيعية على النحو التالي:

  {- ب +/- √ (ب ²- 4 ب)} / 2 أ

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• الجواب 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12.8 i} / 6

• الجواب 2:

  {2 - 12.8 i} / 6

الخطوة الرابعة: استخدم الأصفار وإجابتك للمعادلة التربيعية كإجابة على المعادلة التكعيبية

سيكون للمعادلات التربيعية إجابتان ، بينما تحتوي المعادلات التكعيبية على ثلاث إجابات. أنت تعرف بالفعل إجابتين من أصل ثلاثة ؛ التي تحصل عليها من الجزء "التربيعي" للمعادلة بين قوسين. إذا كان من الممكن حل معادلتك التكعيبية عن طريق "التحليل إلى عوامل" مثل هذا ، فإن إجابتك الثالثة تكون دائمًا تقريبًا 0. آمن! لقد حللت للتو معادلة تكعيبية.

السبب الذي يجعل هذه الطريقة تعمل هو الحقيقة الأساسية وهي أن "أي عدد مضروب في صفر يساوي صفرًا". عندما تحلل المعادلة في الصورة x (ax ² + bx + c) = 0 ، فأنت تقسمه إلى قسمين ؛ جزء واحد هو المتغير x على الجانب الأيسر والجزء الآخر هو المعادلة التربيعية بين قوسين. إذا كان أحد هذين الجزأين صفرًا ، فستكون المعادلة بأكملها صفرًا أيضًا. وبالتالي ، فإن إجابتا المعادلة التربيعية بين قوسين ، والتي تجعلها صفرًا ، هي إجابات المعادلة التكعيبية ، وكذلك 0 نفسها - مما يجعل الجزء الموجود في الجانب الأيسر صفرًا أيضًا.

الطريقة 2 من 3: البحث عن إجابات عدد صحيح باستخدام قائمة العوامل

الخطوة الأولى: تأكد من أن المعادلة التكعيبية لها قيمة ثابتة

في حين أن الطرق الموضحة أعلاه سهلة الاستخدام إلى حد ما لأنك لست بحاجة إلى تعلم تقنية حسابية جديدة لاستخدامها ، فإنها لن تساعدك دائمًا في حل المعادلات التكعيبية. إذا كانت معادلتك التكعيبية على شكل فأس ³ + bx ² + cx + d = 0 ، حيث لا تكون قيمة d مساوية للصفر ، فإن طريقة "التحليل" أعلاه لا تعمل ، لذلك ستحتاج إلى استخدام إحدى الطرق الواردة في هذا القسم لحل هذا الأمر.

على سبيل المثال ، لنفترض أن لدينا المعادلة 2 س ³ + 9 س ² + 13 س = -6. في هذه الحالة ، للحصول على صفر في الجانب الأيمن من المعادلة ، علينا إضافة 6 إلى كلا الطرفين. بعد ذلك ، سنحصل على معادلة جديدة 2 س ³ + 9 س ² + 13 س + 6 = 0 ، بقيمة د = 6 ، لذلك لا يمكننا استخدام طريقة "التحليل" كما في الطريقة السابقة.

الخطوة 2. أوجد عوامل a و d

لحل المعادلة التكعيبية ، ابدأ بإيجاد العامل a (معامل x ³) و د (القيمة الثابتة في نهاية المعادلة). تذكر أن العوامل عبارة عن أرقام يمكن ضربها ببعضها البعض للحصول على رقم معين. على سبيل المثال ، بما أنه يمكنك الحصول على 6 بضرب 6 × 1 و 2 × 3 ، فإن 1 و 2 و 3 و 6 هي عوامل 6.

• في مثال المسألة التي نستخدمها ، a = 2 و d = 6. العامل 2 هو 1 و 2. بينما عامل 6 هو 1 و 2 و 3 و 6.

  

  الخطوة 3. قسّم العامل أ على العامل د

  بعد ذلك ، اكتب القيم التي تحصل عليها بقسمة كل عامل من عوامل a على كل عامل d. ينتج عن هذا الحساب عادةً العديد من القيم الكسرية والعديد من الأرقام الصحيحة. القيمة الصحيحة لحل المعادلة التكعيبية هي أحد الأعداد الصحيحة التي تم الحصول عليها من الحساب.

  في معادلتنا ، قسّم قيمة العامل a (1 ، 2) على عامل d (1 ، 2 ، 3 ، 6) واحصل على النتائج التالية: 1 ، 1/2 ، 1/3 ، 1/6 ، 2 و 2/3. بعد ذلك ، أضف قيمًا سالبة إلى القائمة ، وسنحصل على: 1 ، -1 ، 1/2 ، -1/2 ، 1/3 ، -1/3 ، 1/6 ، -1/6 ، 2 ، -2 ، 2/3 ، و -2/3. إجابة المعادلة التكعيبية - وهي عدد صحيح ، موجودة في القائمة.

  

  الخطوة 4. استخدم القسمة التركيبية للتحقق يدويًا من إجاباتك

  بمجرد أن يكون لديك قائمة من القيم مثل القائمة أعلاه ، يمكنك البحث عن قيم الأعداد الصحيحة التي تمثل إجابات معادلتك التكعيبية عن طريق إدخال كل عدد صحيح يدويًا ، والعثور على القيمة التي ترجع صفرًا. ومع ذلك ، إذا كنت لا ترغب في قضاء الوقت في القيام بذلك ، فهناك طريقة للقيام بذلك بسرعة أكبر ، وهي عملية حسابية تسمى القسمة التركيبية. في الأساس ، ستقسم قيمة العدد الصحيح على المعاملات الأصلية لـ a و b و c و d في المعادلة التكعيبية. إذا كان الباقي صفرًا ، فإن هذه القيمة هي إحدى إجابات معادلتك التكعيبية.

  • يعد التقسيم التركيبي موضوعًا معقدًا - انظر الرابط أدناه لمزيد من المعلومات. فيما يلي مثال على كيفية العثور على أحد إجابات معادلتك التكعيبية بالقسمة التركيبية:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    نظرًا لأننا حصلنا على النتيجة النهائية تساوي 0 ، فإننا نعلم أن أحد الأعداد الصحيحة التي تجيب على معادلتنا التكعيبية هو - 1.

  طريقة 3 من 3: استخدام منهج التمييز

  

  الخطوة 1. اكتب المعادلات أ ، ب ، ج ، د

  لإيجاد إجابة المعادلة التكعيبية بهذه الطريقة ، سنفعل الكثير من العمليات الحسابية باستخدام المعاملات في معادلتنا. لهذا السبب ، من الجيد تدوين قيم a و b و c و d قبل أن تنسى أيًا من القيم.

  على سبيل المثال ، للمعادلة س ³ - 3 × ² + 3 س - 1 ، اكتبها على أنها أ = 1 ، ب = -3 ، ج = 3 ، د = -1. لا تنس أنه عندما لا يكون للمتغير x معامل ، فإن قيمته تكون 1.

  

  الخطوة 2. احسب 0 = ب ² - 3 مكيفات.

  تتطلب الطريقة التمييزية لإيجاد إجابات للمعادلات التكعيبية عمليات حسابية معقدة ، ولكن إذا اتبعت الخطوات بعناية ، فقد تكون مفيدة جدًا في حل المعادلات التكعيبية التي يصعب حلها بطرق أخرى. بادئ ذي بدء ، أوجد قيمة 0 ، وهي أول قيمة مهمة للعديد من العناصر التي نحتاجها ، مع إدخال القيمة المناسبة في الصيغة b ² - 3 مكيفات.

  • في المثال الذي نستخدمه ، سنحلها على النحو التالي:

    ب ² - 3 ac

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  الخطوة 3. احسب 1 = 2 ب ³ - 9 أ ب ج + 27 أ ² د.

  تتطلب القيمة المهمة التالية التي نحتاجها ، 1 ، عملية حسابية أطول ، ولكن يمكن إيجادها بنفس الطريقة مثل 0. أدخل القيمة المناسبة في الصيغة 2 ب ³ - 9 أ ب ج + 27 أ ² د للحصول على قيمة 1.

  • في هذا المثال ، نحلها على النحو التالي:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  الخطوة 4. احسب = 1² - 4Δ0³) -27 أ ².

  بعد ذلك ، نحسب القيمة "المميزة" للقيمتين 0 و 1. المميز هو رقم يمنحك معلومات حول جذر كثير الحدود (ربما تكون قد حفظت دون وعي الصيغة التربيعية المميزة: ب ² - 4 مكيفات). في حالة المعادلة التكعيبية ، إذا كانت قيمة المميز موجبة ، فإن المعادلة بها ثلاثة أجوبة عدد حقيقي. إذا كانت القيمة المميزة تساوي صفرًا ، فإن المعادلة تحتوي على إجابة واحدة أو إجابتين حقيقيتين ، وبعض الإجابات لها نفس القيمة. إذا كانت القيمة سالبة ، فعندئذٍ يكون للمعادلة إجابة رقم حقيقي واحد فقط ، لأن الرسم البياني للمعادلة سيتقاطع دائمًا مع المحور x مرة واحدة على الأقل.)

  • في هذا المثال ، نظرًا لأن كلا من 0 و 1 = 0 ، فإن العثور على قيمة أمر سهل للغاية. نحتاج فقط لحسابه بالطريقة التالية:

    1² - 4Δ0³) -27 أ ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 = ، إذن تحتوي معادلتنا على إجابة واحدة أو إجابتين.

  

  الخطوة 5. احسب C = ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1) / 2).

  القيمة الأخيرة التي من المهم أن نحصل عليها هي قيمة C. تسمح لنا هذه القيمة بالحصول على الجذور الثلاثة للمعادلة التكعيبية. حل كالمعتاد عن طريق التعويض بقيمتي 1 و 0 في الصيغة.

  • في هذا المثال ، نحصل على قيمة C من خلال:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1) / 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = ج

  

  الخطوة 6. احسب الجذور الثلاثة للمعادلة باستخدام المتغير

  يتم تحديد جذر (إجابة) المعادلة التكعيبية بواسطة الصيغة (ب + ش ج + (Δ0 / ش ج)) / 3 أ ، حيث u = (-1 + (-3)) / 2 و n تساوي 1 أو 2 أو 3. عوض بالقيم الخاصة بك في الصيغة لحلها - قد يكون هناك عدد قليل من العمليات الحسابية التي تحتاج إلى القيام بها ، ولكن يجب أن تحصل على إجابات المعادلة التكعيبية الثلاثة!

  • في هذا المثال ، يمكننا حلها عن طريق التحقق من الإجابات عندما تكون n تساوي 1 و 2 و 3. والإجابة التي نحصل عليها من هذه العملية الحسابية هي الإجابة المحتملة لمعادلتنا التكعيبية - أي قيمة نعوض بها في المعادلة التكعيبية وتعطينا نفس النتيجة. مع 0 ، هي الإجابة الصحيحة. على سبيل المثال ، إذا حصلنا على إجابة تساوي 1 إذا كنا في إحدى تجاربنا الحسابية ، فقم بالتعويض عن القيمة 1 في المعادلة x ³ - 3 × ² + 3 x - 1 تعطي النتيجة النهائية تساوي 0. وهكذا

    الخطوة 1. هي إحدى إجابات معادلتنا التكعيبية.