كسرين متساويين إذا كان لهما نفس القيمة. تعد معرفة كيفية تحويل الكسور إلى أشكالها المكافئة مهارة حسابية بالغة الأهمية ، وهي مطلوبة لجميع أشكال الرياضيات من الجبر الأساسي إلى حساب التفاضل والتكامل المتقدم. ستوفر هذه المقالة عدة طرق لحساب الكسور المتكافئة من الضرب والقسمة الأساسيين إلى طرق أكثر تعقيدًا لحل المعادلات الكسرية المتكافئة.
خطوة
طريقة 1 من 5: ترتيب الكسور المتكافئة
الخطوة 1. اضرب البسط والمقام في نفس الرقم
يوجد كسران مختلفان ولكنهما متكافئان ، بحكم التعريف ، بسط ومقام من مضاعفات بعضهما البعض. بعبارة أخرى ، فإن ضرب البسط والمقام لكسر في نفس العدد سينتج كسورًا مكافئة. على الرغم من أن الأرقام في الكسر الجديد ستكون مختلفة ، فإن الكسور ستكون لها نفس القيمة.
- على سبيل المثال ، إذا أخذنا الكسر 4/8 وضربنا البسط والمقام في 2 ، فسنحصل على (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. هذين الكسرين متكافئان.
- (4 × 2) / (8 × 2) في الواقع هي نفسها 4/8 × 2/2. تذكر أنه عند ضرب كسرين ، فإننا نضرب في خط مستقيم ، أي البسط في البسط والمقام في المقام.
- لاحظ أن 2/2 يساوي 1 إذا قمت بالقسمة. وبالتالي ، من الأسهل فهم سبب تكافؤ 4/8 و 8/16 لأن ضرب 4/8 × (2/2) = يبقى 4/8. بالطريقة نفسها ، نفس قول 4/8 = 8/16.
- يحتوي أي كسر على عدد لا نهائي من الكسور المتكافئة. يمكنك ضرب كل من البسط والمقام في أي عدد صحيح ، بغض النظر عن الحجم أو الصغير ، للحصول على كسر مكافئ.
الخطوة الثانية. قسّم البسط والمقام على نفس الرقم
مثل عملية الضرب ، يمكن أيضًا استخدام القسمة لإيجاد كسر جديد يعادل الكسر الأصلي. ما عليك سوى قسمة بسط ومقام الكسر على نفس الرقم للحصول على الكسر المكافئ. هناك عيب واحد لهذه العملية - يجب أن يحتوي الكسر الأخير على أعداد صحيحة في كل من البسط والمقام حتى يكون صحيحًا.
على سبيل المثال ، لنلق نظرة على 4/8. إذا قسمنا البسط والمقام على 2 بدلاً من الضرب ، فسنحصل على (4 2) / (8 2) = 2/4. 2 و 4 أعداد صحيحة ، لذا فإن هذه الكسور المتكافئة صحيحة
طريقة 2 من 5: استخدام الضرب الأساسي لتحديد المساواة
الخطوة 1. أوجد العدد الذي يجب ضربه في المقام الأصغر للحصول على المقام الأكبر
تتضمن العديد من المشكلات المتعلقة بالكسور تحديد ما إذا كان كسرين متساويين. بحساب هذا الرقم ، يمكنك البدء في مساواة الحدود الكسرية لتحديد المساواة.
- على سبيل المثال ، أعد استخدام الكسور 4/8 و 8/16. المقام الأصغر هو 8 وعلينا أن نضرب الرقم في 2 لنحصل على المقام الأكبر ، وهو 16. إذن الرقم في هذه الحالة هو 2.
- للأرقام الأكثر صعوبة ، يمكنك قسمة المقام الأكبر على المقام الأصغر. في هذه الحالة ، يتم قسمة 16 على 8 ، والتي لا تزال تنتج 2.
- الرقم ليس دائمًا عددًا صحيحًا. على سبيل المثال ، إذا كان المقامان 2 و 7 ، فإن الرقم هو 3 ، 5.
الخطوة الثانية: اضرب بسط ومقام الكسر الأصغر في الرقم من الخطوة الأولى
لكسرين مختلفين ولكن متكافئين ، بحكم التعريف ، البسط والمقام هما مضاعفات بعضهما البعض. بعبارة أخرى ، فإن ضرب البسط والمقام لكسر في نفس العدد سينتج كسرًا مكافئًا. على الرغم من أن الأرقام في هذا الكسر الجديد ستكون مختلفة ، إلا أن هذه الكسور لها نفس القيمة.
على سبيل المثال ، إذا استخدمنا الكسر 4/8 من الخطوة الأولى وضربنا البسط والمقام في الرقم الذي حددناه سابقًا ، وهو 2 ، فسنحصل على (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. تثبت هذه النتيجة أن هذين الكسرين متساويين.
طريقة 3 من 5: استخدام القسمة الأساسية لتحديد المساواة
الخطوة 1. عد كل كسر كرقم عشري
بالنسبة للكسور البسيطة بدون متغيرات ، يمكنك تمثيل كل كسر كرقم عشري لتحديد المساواة. نظرًا لأن كل كسر هو في الواقع مشكلة قسمة ، فهذه هي أبسط طريقة لتحديد المساواة.
- على سبيل المثال ، استخدم الكسر الذي استخدمناه سابقًا ، 4/8. الكسر 4/8 يكافئ قول 4 مقسومًا على 8 ، وهو 4/8 = 0.5. يمكنك أيضًا حل المثال الآخر ، وهو 8/16 = 0.5. بغض النظر عن الحدود في الكسر ، فإن الكسر يساوي إذا كان كلا الرقمين متماثلين عند تمثيلهما في النظام العشري.
- ضع في اعتبارك أن التعبيرات العشرية يمكن أن تحتوي على عدة أرقام قبل أن تصبح المساواة واضحة. كمثال أساسي ، 1/3 = 0.333 يتكرر بينما 3/10 = 0.3 باستخدام أكثر من رقم واحد ، نرى أن هذين الكسرين ليسا متكافئين.
الخطوة الثانية. قسّم بسط ومقام كسر على نفس الرقم لتحصل على كسر مكافئ
للكسور الأكثر تعقيدًا ، تتطلب طريقة القسمة خطوات إضافية. بينما مع الضرب ، يمكنك قسمة بسط الكسر ومقامه على نفس الرقم للحصول على كسر مكافئ. هناك عيب واحد لهذه العملية. يجب أن يحتوي الكسر الأخير على أعداد صحيحة في كل من البسط والمقام حتى يكون صحيحًا.
على سبيل المثال ، لنلق نظرة على 4/8. إذا قسمنا البسط والمقام على 2 بدلاً من الضرب ، فسنحصل على (4 2) / (8 2) = 2/4. 2 و 4 أعداد صحيحة ، لذا فإن هذه الكسور المتكافئة صحيحة.
الخطوة 3. بسّط الكسور لأبسط حدودها
تُكتب معظم الكسور عادةً بأبسط مصطلحاتها ، ويمكنك تحويل الكسور إلى أبسط صورة عن طريق القسمة على العامل المشترك الأكبر (GCF). تتم هذه الخطوة بنفس منطق كتابة الكسور المتكافئة ، وتحويلها إلى نفس المقام ، لكن هذه الطريقة تحاول تبسيط كل كسر إلى أصغر حد ممكن.
- عندما يكون الكسر في أبسط صورة ، يكون للبسط والمقام أصغر القيم الممكنة. لا يمكن قسمة كلاهما على أي عدد صحيح للحصول على القيمة الأصغر. لتحويل كسر ليس في أبسط صورة إلى أبسط صورة معادلة له ، نقسم البسط والمقام على أكبر عامل مشترك لهما.
-
العامل المشترك الأكبر (GCF) للبسط والمقام هو أكبر رقم يقسمهما لإعطاء نتيجة صحيحة. إذن ، في مثالنا 4/8 ، لأن
الخطوة 4. هو أكبر عدد يقبل القسمة على 4 و 8 ، سنقسم بسط الكسر ومقامه على 4 لنحصل على أبسط حد. (4 4) / (8 4) = 1/2. بالنسبة لمثالنا الآخر ، 8/16 ، فإن العامل المشترك الأكبر هو 8 ، والذي يُرجع أيضًا القيمة 1/2 كأبسط تعبير لكسر.
الطريقة 4 من 5: استخدام المنتجات المتقاطعة للبحث عن المتغيرات
الخطوة 1. رتب الكسرين بحيث يتساوى كل منهما مع الآخر
نستخدم الضرب التبادلي للمسائل الرياضية حيث نعلم أن الكسور متساوية ، ولكن تم استبدال أحد الأرقام بمتغير (عادةً x) يتعين علينا حله. في مثل هذه الحالات ، نعلم أن هذه الكسور متكافئة لأنها المصطلح الوحيد على الجانب الآخر من علامة التساوي ، ولكن غالبًا ما تكون طريقة إيجاد المتغير غير واضحة. لحسن الحظ ، مع الضرب التبادلي ، فإن حل هذه الأنواع من المسائل سهل.
الخطوة الثانية. خذ كسرين متكافئين واضربهما في شكل "X"
بعبارة أخرى ، تضرب بسط كسر في مقام كسر آخر والعكس صحيح ، ثم ترتب الإجابتين لتتطابق مع بعضها البعض وتحلها.
خذ المثالين ، 4/8 و 8/16. لا يحتوي أي منهما على متغير ، لكن يمكننا إثبات المفهوم لأننا نعلم بالفعل أنهما متكافئان. بالضرب التبادلي ، نحصل على 4/16 = 8 × 8 ، أو 64 = 64 ، وهذا صحيح. إذا كان هذان الرقمان غير متساويين ، فلن تكون الكسور متساوية
الخطوة 3. أضف المتغيرات
نظرًا لأن الضرب الاتجاهي هو أسهل طريقة لتحديد الكسور المتكافئة عندما يتعين عليك إيجاد المتغيرات ، فلنقم بإضافة المتغيرات.
-
على سبيل المثال ، دعنا نستخدم المعادلة 2 / س = 10/13. للضرب التبادلي ، نضرب 2 في 13 و 10 في x ، ثم نساوي إجابتنا ببعضها البعض:
- 2 × 13 = 26
- 10 × س = 10x
- 10x = 26. من هنا ، إيجاد إجابة المتغير هو مسألة جبرية بسيطة. س = 26/10 = 2, 6 ، مما يجعل الكسر المكافئ الأولي 2/2 ، 6 = 10/13.
الخطوة 4. استخدم الضرب الاتجاهي للكسور متعددة المتغيرات أو التعبيرات المتغيرة
أحد أفضل الأشياء في الضرب التبادلي هو أنه يعمل بالطريقة نفسها ، سواء كنت تعمل مع كسرين بسيطين (على النحو الوارد أعلاه) أو كسرين أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال ، إذا كان للكسرين متغيرات ، فأنت تحتاج فقط إلى حذف هذه المتغيرات في عملية الحل. وبالمثل ، إذا كان بسط أو مقام الكسر عبارة عن تعبير متغير (مثل x + 1) ، فقط "اضربه" باستخدام خاصية التوزيع وحل كالمعتاد.
-
على سبيل المثال ، لنستخدم المعادلة ((س + 3) / 2) = ((س + 1) / 4). في هذه الحالة ، كما ورد أعلاه ، سنحلها عن طريق الضرب التبادلي:
- (س + 3) × 4 = 4x + 12
- (س + 1) × 2 = 2 س + 2
- 2x + 2 = 4x + 12 ، إذن يمكننا تبسيط الكسر بطرح 2x من كلا الطرفين
- 2 = 2x + 12 ، ثم نعزل المتغير بطرح 12 من كلا الطرفين
- -10 = 2x ، واقسم على 2 لإيجاد x
- - 5 = س
الطريقة الخامسة من 5: استخدام الصيغ التربيعية لإيجاد المتغيرات
الخطوة 1. عبور الكسرين
بالنسبة لمشاكل المساواة التي تتطلب صيغة تربيعية ، ما زلنا نبدأ باستخدام الضرب التبادلي. ومع ذلك ، فإن أي منتج متقاطع يتضمن ضرب شروط متغير في شروط متغير آخر من المرجح أن ينتج عنه تعبير لا يمكن حله بسهولة باستخدام الجبر. في مثل هذه الحالات ، قد تحتاج إلى استخدام تقنيات مثل العوملة و / أو الصيغ التربيعية.
-
على سبيل المثال ، لنلقِ نظرة على المعادلة ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). أولاً ، دعنا نتقاطع مع الضرب:
- (س + 1) × (2 س - 2) = 2 س2 + 2 س -2 س - 2 = 2 س2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
الخطوة 2. اكتب المعادلة في صورة معادلة تربيعية
في هذا القسم ، نريد كتابة هذه المعادلة بالصيغة التربيعية (ax2 + bx + c = 0) ، وهو ما نقوم به بتعيين المعادلة مساوية للصفر. في هذه الحالة ، نطرح 12 من كلا الطرفين لنحصل على 2x2 - 14 = 0.
قد تكون بعض القيم مساوية لـ 0. على الرغم من 2x2 - 14 = 0 هي أبسط صورة للمعادلة ، والمعادلة التربيعية الحقيقية هي 2x2 + 0x + (-14) = 0. قد يكون من المفيد في البداية تدوين شكل المعادلة التربيعية حتى لو كانت بعض القيم تساوي 0.
الخطوة 3. قم بحلها عن طريق إدخال الأرقام من المعادلة التربيعية في الصيغة التربيعية
الصيغة التربيعية (x = (-b +/- (b2 - 4ac)) / 2a) ستساعدنا في إيجاد قيمة x الخاصة بنا في هذا القسم. لا تخف من طول الصيغة. ما عليك سوى أخذ القيم من المعادلة التربيعية في الخطوة الثانية ووضعها في الأماكن الصحيحة قبل حلها.
- س = (-ب +/- (ب2 - 4 أ)) / 2 أ. في معادلتنا ، 2x2 - 14 = 0 ، أ = 2 ، ب = 0 ، ج = -14.
- س = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- س = (+/- (0 - -112)) / 2 (2)
- س = (+/- (112)) / 2 (2)
- س = (+/- 10.58 / 4)
- س = +/- 2, 64
الخطوة 4. تحقق من إجابتك عن طريق إعادة إدخال قيمة x في المعادلة التربيعية
عن طريق إدخال قيمة x المحسوبة مرة أخرى في المعادلة التربيعية من الخطوة الثانية ، يمكنك بسهولة تحديد ما إذا كنت قد حصلت على الإجابة الصحيحة. في هذا المثال ، ستعوض 64 و 64 و 2 و 64 في المعادلة التربيعية الأصلية.
نصائح
- تحويل الكسر إلى ما يعادله هو في الواقع شكل من أشكال ضرب الكسر في 1. عند التحويل من 1/2 إلى 2/4 ، فإن ضرب البسط والمقام في 2 هو نفس ضرب 1/2 في 2/2 ، وهو ما يساوي 1.
-
إذا رغبت في ذلك ، قم بتحويل الرقم الكسري إلى كسر مشترك لتسهيل التحويل. بالطبع ، لن تكون كل الكسور التي تراها سهلاً مثل تحويل مثالنا 4/8 أعلاه. على سبيل المثال ، يمكن للأرقام المختلطة (مثل 1 3/4 ، 2 5/8 ، 5 2/3 ، إلخ) أن تجعل عملية التحويل أكثر تعقيدًا بعض الشيء. إذا كان عليك تحويل رقم كسري إلى كسر مشترك ، فيمكنك القيام بذلك بطريقتين: عن طريق تحويل الرقم الكسري إلى كسر مشترك ، ثم تحويله كالمعتاد ، أو بالحفاظ على شكل الأعداد الكسرية والحصول على إجابات في شكل أعداد مختلطة.
- للتحويل إلى كسر مشترك ، اضرب مكون العدد الصحيح للعدد الكسري في مقام المكون الكسري ثم أضفه إلى البسط. على سبيل المثال ، 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. ثم ، إذا رغبت في ذلك ، يمكنك تغييره حسب الحاجة. على سبيل المثال ، 5/3 × 2/2 = 10/6 ، والتي تظل تساوي 1 2/3.
- ومع ذلك ، لا يتعين علينا تحويله إلى كسر مشترك على النحو الوارد أعلاه. خلاف ذلك ، نترك مكون العدد الصحيح بمفرده ، ونغير المكون الكسري فقط ، ونضيف مكون العدد الصحيح دون تغيير. على سبيل المثال ، بالنسبة لـ 3 4/16 ، نرى فقط 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. لذلك ، بإضافة مكونات الأعداد الصحيحة مرة أخرى ، نحصل على عدد كسري جديد ، 3 1/4.
تحذير
- يمكن استخدام الضرب والقسمة للحصول على كسور متساوية لأن الضرب والقسمة بالصيغة الكسرية للرقم 1 (2/2 ، 3/3 ، إلخ) يعطي إجابة تعادل الكسر الأصلي ، حسب التعريف. لا يمكن استخدام الجمع والطرح.
-
على الرغم من أنك تضرب البسط والمقام عند ضرب الكسور ، فإنك لا تضيف أو تطرح المقامات عند جمع الكسور أو طرحها.
على سبيل المثال ، أعلاه ، نعلم أن 4/8 4/4 = 1/2. إذا جمعنا 4/4 ، نحصل على إجابة مختلفة تمامًا. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 أو 3/2 ، فهي لا تساوي 4/8.
