كيفية حساب الجذور التربيعية يدويًا (بالصور)

2024 مؤلف: Jason Gerald | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-15 08:08

في الأيام التي سبقت اختراع الآلات الحاسبة ، كان على الطلاب والأساتذة حساب الجذور التربيعية يدويًا. تم تطوير عدة طرق مختلفة للتغلب على هذه العملية الصعبة. بعض الطرق تعطي تقديرًا تقريبيًا والبعض الآخر يعطي قيمة دقيقة. لمعرفة كيفية العثور على الجذر التربيعي لرقم باستخدام عمليات بسيطة فقط ، انظر الخطوة 1 أدناه للبدء.

خطوة

طريقة 1 من 2: استخدام Prime Factorization

الخطوة 1. قسّم الرقم إلى عوامل مربعة كاملة

تستخدم هذه الطريقة عوامل الرقم للعثور على الجذر التربيعي للرقم (اعتمادًا على الرقم ، يمكن أن تكون الإجابة رقمًا دقيقًا أو تقريبًا قريبًا). عوامل الرقم هي مجموعة من الأرقام الأخرى التي ، عند ضربها ، تنتج هذا الرقم. على سبيل المثال ، يمكنك القول أن عاملي العدد 8 هما 2 و 4 لأن 2 × 4 = 8. وفي الوقت نفسه ، فإن المربعات الكاملة هي أعداد صحيحة ناتجة عن حاصل ضرب أعداد صحيحة أخرى. على سبيل المثال ، 25 و 36 و 49 مربعات كاملة لأنها 5 على التوالي², 6²و 7². كما قد تكون خمنت ، فإن عوامل المربع الكامل هي عوامل تعد أيضًا مربعات كاملة. لبدء إيجاد الجذر التربيعي من خلال التحليل الأولي ، حاول أولاً تبسيط العدد إلى عوامله التربيعية الكاملة.

دعنا نستخدم مثالا. نريد إيجاد الجذر التربيعي لـ 400 يدويًا. في البداية ، سنقسم الرقم إلى عوامله التربيعية الكاملة. نظرًا لأن 400 من مضاعفات 100 ، فإننا نعلم أن 400 يقبل القسمة على 25 - مربع كامل. مع القسمة السريعة للظلال ، نجد أن 400 مقسومة على 25 تساوي 16. وبالمصادفة ، فإن 16 مربع كامل أيضًا. وبالتالي ، فإن عوامل المربع الكاملة لـ 400 هي 25 و 16 لأن 25 × 16 = 400.
يمكننا كتابتها على النحو التالي: مربع (400) = مربع (25 × 16)

الخطوة الثانية: أوجد الجذر التربيعي للعوامل التربيعية الكاملة

تنص خاصية الضرب في الجذر التربيعي على أنه بالنسبة لأي رقم أ و ب ، فإن الجذر التربيعي (أ × ب) = المربع (أ) × المربع (ب). بسبب هذه الخاصية ، يمكننا الآن إيجاد الجذر التربيعي للعوامل التربيعية الكاملة وضربها للحصول على إجابتنا.

في مثالنا ، سنجد الجذور التربيعية لـ 25 و 16. انظر أدناه:
- الجذر (25 × 16)
- الجذر (25) × الجذر (16)
- 5 × 4 =
  
  الخطوة 20.

الخطوة 3. إذا كان الرقم لا يمكن تحليله إلى عوامل بشكل كامل ، فقم بتبسيط إجابتك إلى أبسط صورة

في الحياة الواقعية ، غالبًا ما لا تكون الأرقام التي تحتاجها لإيجاد الجذر التربيعي لأعداد صحيحة مع عوامل مربعة كاملة واضحة مثل 400. في هذه الحالات ، من الممكن ألا نجد الإجابة الصحيحة. كعدد صحيح. مع ذلك ، بإيجاد أكبر عدد ممكن من العوامل المربعة الكاملة ، يمكنك إيجاد الإجابة في صورة جذر تربيعي أصغر وأبسط وأسهل في الحساب. للقيام بذلك ، قم بتقليل الرقم الخاص بك إلى مجموعة من العوامل المربعة الكاملة والعوامل المربعة غير الكاملة ، ثم قم بالتبسيط.

لنستخدم الجذر التربيعي للرقم 147 كمثال. 147 ليس حاصل ضرب مربعين كاملين ، لذلك لا يمكننا الحصول على قيمة العدد الصحيح كما هو موضح أعلاه. ومع ذلك ، فإن 147 هو حاصل ضرب مربع كامل ورقم آخر - 49 و 3. يمكننا استخدام هذه المعلومات لكتابة إجابتنا في أبسط صورة على النحو التالي:
- الجذر (147)
- = الجذر (49 × 3)
- = مربع (49) × مربع (3)
- = 7 × الجذر (3)

الخطوة 4. إذا لزم الأمر ، قم بالتقدير

باستخدام الجذر التربيعي في أبسط صورة ، يسهل عادةً الحصول على تقدير تقريبي للإجابة الرقمية عن طريق تخمين قيمة الجذر التربيعي المتبقي وضربه. تتمثل إحدى طرق توجيه تخمينك في البحث عن مربعات كاملة أكبر من العدد في الجذر التربيعي وأقل منه. ستلاحظ أن القيمة العشرية للرقم في جذرك التربيعي تقع بين عددين ، لذا يمكنك تخمين القيمة بين العددين.

لنعد إلى مثالنا. لأن 2² = 4 و 1² = 1 ، نعلم أن الجذر (3) يقع بين 1 و 2 - ربما يكون أقرب إلى 2 من 1. نحن نقدر 1 ، 7. 7 × 1 ، 7 = 11, 9. إذا تحققنا من إجابتنا على الآلة الحاسبة ، يمكننا أن نرى أن إجابتنا قريبة جدًا من الإجابة الحقيقية وهي 12, 13.

هذا ينطبق أيضا على الأعداد الكبيرة. على سبيل المثال ، يمكن تقريب الجذر (35) بين 5 و 6 (ربما أقرب إلى 6). 5² = 25 و 6² = 36. 35 يقع بين 25 و 36 ، لذلك يجب أن يكون الجذر التربيعي بين 5 و 6. بما أن 35 هو واحد فقط أقل من 36 ، يمكننا أن نقول بثقة أن الجذر التربيعي أقل قليلاً من 6. التحقق من ذلك باستخدام آلة حاسبة سوف أعطينا الجواب حوالي 5 ، 92 - نحن على حق.

الخطوة 5. بدلاً من ذلك ، قم بتقليل الرقم إلى أقل العوامل شيوعًا كخطوة أولى

إيجاد عوامل المربعات الكاملة ليس ضروريًا إذا كان بإمكانك بسهولة تحديد العوامل الأولية لعدد (العوامل التي هي أيضًا أعداد أولية). اكتب رقمك من حيث العوامل المشتركة الأقل. ثم ابحث عن أزواج الأعداد الأولية التي تطابق العوامل الخاصة بك. عندما تجد عاملين أوليين متطابقين ، احذف هذين العددين من الجذر التربيعي وضع أحد هذين العددين خارج الجذر التربيعي.

على سبيل المثال ، أوجد الجذر التربيعي لـ 45 باستخدام هذه الطريقة. نعلم أن 45 × 5 ونعلم أنه تحت 9 = 3 × 3. وبالتالي ، يمكننا كتابة الجذر التربيعي بدلالة عوامل مثل هذه: الجذر التربيعي (3 × 3 × 5). ما عليك سوى إزالة كل من 3s ووضع 3 خارج الجذر التربيعي لتبسيط الجذر التربيعي لأبسط صورة: (3) الجذر (5).

من هنا ، سيكون من السهل تقديرنا.
كمثال أخير ، دعنا نحاول إيجاد الجذر التربيعي لـ 88:
- الجذر (88)
- = الجذر (2 × 44)
- = الجذر (2 × 4 × 11)
- = الجذر (2 × 2 × 2 × 11). لدينا حوالي 2 في الجذر التربيعي. بما أن 2 عدد أولي ، يمكننا حذف زوج من 2 ووضع أحدهما خارج الجذر التربيعي.
- = الجذر التربيعي في أبسط صورة هو (2) الجذر التربيعي (2 × 11) أو (2) الجذر (2) الجذر (11).
  
  من هنا ، يمكننا تقدير الجذر التربيعي (2) و المربع (11) وإيجاد الإجابة التقريبية كما نريد.

الطريقة 2 من 2: البحث عن الجذر التربيعي يدويًا

استخدام خوارزمية القسمة المطولة

الخطوة 1. افصل أرقامك إلى أزواج

تستخدم هذه الطريقة عملية مشابهة للقسمة المطولة لإيجاد رقم الجذر التربيعي الدقيق برقم. على الرغم من أنه ليس إلزاميًا ، فقد تجد أنه من الأسهل تنفيذ هذه العملية إذا قمت بتنظيم مكان عملك وأرقامك بشكل مرئي في أجزاء سهلة العمل. أولاً ، ارسم خطًا رأسيًا يقسم منطقة عملك إلى قسمين ، ثم ارسم خطًا أفقيًا أقصر بالقرب من أعلى اليمين لتقسيم القسم الأيمن إلى قسم علوي أصغر وقسم سفلي أكبر. بعد ذلك ، افصل أرقامك إلى أزواج ، بدءًا من العلامة العشرية. على سبيل المثال ، باتباع هذه القاعدة ، 79،520،789،182 ، 47897 يصبح "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". اكتب رقمك في أعلى اليسار.

على سبيل المثال ، دعنا نحاول حساب الجذر التربيعي لـ 780 ، 14. ارسم خطين لتقسيم مكان عملك على النحو الوارد أعلاه واكتب "7 80. 14" في الجزء العلوي الأيسر. لا يهم إذا كان الرقم الموجود في أقصى اليسار رقمًا واحدًا وليس زوجًا من الأرقام. ستكتب إجابتك (الجذر التربيعي 780 ، 14) في أعلى اليمين

الخطوة 2. أوجد أكبر عدد صحيح قيمته التربيعية أقل من أو تساوي الرقم (أو زوج من الأرقام) في أقصى اليسار

ابدأ من أقصى يسار رقمك ، سواء أزواج الأرقام أو الأرقام الفردية. أوجد أكبر مربع كامل أصغر من أو يساوي هذا الرقم ، ثم أوجد الجذر التربيعي لهذا المربع الكامل. هذا الرقم هو ن. اكتب n في الجزء العلوي الأيمن واكتب مربع n في الربع الأيمن السفلي.

في مثالنا ، أقصى اليسار هو الرقم 7. لأننا نعرف ذلك 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9 ، يمكننا القول أن n = 2 لأن 2 هو أكبر عدد صحيح قيمته التربيعية أقل من أو تساوي 7. اكتب 2 في الربع العلوي الأيمن. هذا هو الرقم الأول من إجابتنا. اكتب 4 (القيمة التربيعية 2) في الربع الأيمن السفلي. هذا الرقم مهم للخطوة التالية.

الخطوة 3. اطرح الرقم الذي حسبته للتو من الزوج الموجود في أقصى اليسار

كما هو الحال مع القسمة المطولة ، فإن الخطوة التالية هي طرح قيمة المربع الذي وجدناه للتو من الجزء الذي حللناه للتو. اكتب هذا الرقم تحت الجزء الأول واطرحه ، واكتب إجابتك تحته.

في مثالنا ، سنكتب 4 تحت 7 ، ثم نطرحها. ينتج عن هذا الطرح إجابة

الخطوه 3..

الخطوة 4. أسقط الزوج التالي

انزل في القسم التالي من الرقم الذي تبحث عنه عن الجذر التربيعي ، بجوار قيمة الطرح التي وجدتها للتو. بعد ذلك ، اضرب الرقم الموجود في الربع الأيمن العلوي في اثنين واكتب الإجابة في الربع الأيمن السفلي. بجانب الرقم الذي كتبته للتو ، اترك مسافة لمسألة الضرب التي ستفعلها في الخطوة التالية بكتابة '"_ × _ ="'.

في مثالنا ، الزوج التالي من الأرقام هو "80". اكتب "80" بجوار 3 في الربع الأيسر. بعد ذلك ، اضرب الرقم الموجود أعلى اليمين في اثنين. هذا الرقم هو 2 ، لذا 2 × 2 = 4. اكتب "4" في الربع الأيمن السفلي متبوعًا بذلك _×_=.

الخطوة 5. املأ الفراغات في الربع الأيمن

يجب أن تملأ جميع الفراغات التي كتبتها للتو في الربع الأيمن بنفس العدد الصحيح. يجب أن يكون هذا العدد الصحيح هو أكبر عدد صحيح يجعل حاصل الضرب في الربع الأيمن أقل من أو يساوي الرقم الموجود حاليًا على اليسار.

في مثالنا ، نملأ الفراغات بـ 8 ، مما ينتج عنه 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. هذه القيمة أكبر من 384. وبالتالي ، 8 كبيرة جدًا ، لكن 7 قد تعمل. اكتب 7 في الفراغات وحل: 4 (7) × 7 = 329. 7 هو رقم صحيح لأن 329 أقل من 380. اكتب 7 في الربع الأيمن العلوي. هذا هو الرقم الثاني في الجذر التربيعي لـ 780 ، 14

الخطوة 6. اطرح الرقم الذي حسبته للتو من الرقم الموجود الآن على اليسار

استمر في سلسلة الطرح باستخدام طريقة القسمة المطولة. خذ حاصل ضرب المسألة في الربع الأيمن واطرحه من الرقم الموجود الآن على اليسار ، أثناء كتابة إجاباتك أدناه.

في مثالنا ، سنطرح 329 من 380 ، وهو ما يعطينا النتيجة 51.

الخطوة 7. كرر الخطوة 4

قم باشتقاق الجزء التالي من الرقم الذي تبحث عنه الجذر التربيعي. عندما تصل إلى الفاصلة العشرية في رقمك ، اكتب العلامة العشرية في إجابتك في الربع الأيمن العلوي. ثم اضرب الرقم الموجود في أعلى اليمين في 2 واكتبه بجوار مشكلة الضرب الفارغة ("_ × _") على النحو الوارد أعلاه.

في مثالنا ، نظرًا لأننا نتعامل الآن مع العلامة العشرية في 780 ، 14 ، اكتب العلامة العشرية بعد إجابتنا الحالية في الجزء العلوي الأيمن. بعد ذلك ، قم بخفض الزوج التالي (14) في الربع الأيسر. ضعف الرقم الموجود في أعلى اليمين (27) يساوي 54 ، لذا اكتب "54 _ × _ =" في الربع الأيمن السفلي

الخطوة 8. كرر الخطوتين 5 و 6

ابحث عن أكبر رقم لملء الفراغات على اليمين ، والذي يعطي إجابة أقل من أو تساوي الرقم الموجود حاليًا على اليسار. ثم حل المشكلة.

في مثالنا ، 549 × 9 = 4941 ، وهو أقل من أو يساوي الرقم الموجود على اليسار (5114). 549 × 10 = 5490 كبير جدًا ، لذا فإن 9 هي إجابتك. اكتب 9 كالرقم التالي في الربع الأيمن العلوي واطرح الناتج من الرقم الموجود على اليسار: 5114 ناقص 4941 يساوي 173

الخطوة 9. لمتابعة حساب الأرقام ، اخفض زوج الأصفار على اليسار ، وكرر الخطوات 4 و 5 و 6

لمزيد من الدقة ، استمر في هذه العملية للعثور على المئات والآلاف والمزيد من الأماكن في إجابتك. استمر في استخدام هذه الدورة حتى تجد المكان العشري الذي تريده.

فهم العملية

الخطوة 1. تخيل أن الرقم الذي حسبته للجذر التربيعي هو المساحة S للمربع

بما أن مساحة المربع تساوي P² حيث P هو طول أحد الأضلاع ، ثم بمحاولة إيجاد الجذر التربيعي للعدد ، فأنت في الواقع تحاول حساب الطول P لهذا الضلع من المربع.

الخطوة الثانية. حدد متغيرات الحروف لكل رقم من إجابتك

ضع المتغير A على أنه الرقم الأول من P (الجذر التربيعي الذي نحاول حسابه). سيكون B هو الرقم الثاني ، و C هو الرقم الثالث ، وهكذا.

الخطوة 3. حدد متغيرات الحروف لكل جزء من رقم البداية

تعيين متغير S._أ لأول زوج من الأرقام في S (القيمة الأولية) ، S_ب للزوج الثاني من الأرقام ، إلخ.

الخطوة الرابعة: فهم العلاقة بين هذه الطريقة والقسمة المطولة

هذه الطريقة لإيجاد الجذر التربيعي هي في الأساس مسألة قسمة مطولة تقسم الرقم الأولي على الجذر التربيعي ، مما يعطيك الجذر التربيعي للإجابة. تمامًا كما في مسألة القسمة المطولة ، أنت مهتم فقط بالرقم التالي في كل خطوة. بهذه الطريقة ، أنت مهتم فقط بالرقمين التاليين في كل خطوة (وهو الرقم التالي في كل خطوة للجذر التربيعي).

الخطوة 5. أوجد أكبر رقم تكون قيمته التربيعية أقل من أو تساوي S._أ.

الرقم الأول من A في إجابتنا هو أكبر عدد صحيح لا تتجاوز قيمته التربيعية S_أ (أي أن A² Sa <(A + 1) ²). في مثالنا ، S_أ = 7 و 2² 7 <3² ، لذا أ = 2.

لاحظ أنه ، على سبيل المثال ، إذا أردت قسمة 88962 على 7 باستخدام القسمة المطولة ، فإن الخطوات الأولى متشابهة إلى حد كبير: سترى الرقم الأول من 88962 (وهو 8) وأنت تبحث عن أكبر رقم والتي ، عند ضربها في 7 ، تكون أصغر من أو تساوي 8 بشكل أساسي ، فأنت تبحث عن d بحيث يكون 7 × d 8 <7 × (d + 1). في هذه الحالة ، d ستساوي 1

الخطوة السادسة: تخيل قيمة المربع الذي توشك أن تبدأ العمل فيه

إجابتك ، الجذر التربيعي لرقم البداية ، هي P ، التي تصف طول المربع بمساحة S (رقم البداية). تمثل درجاتك لـ A و B و C الأرقام في قيمة P. طريقة أخرى لقول هذا هو 10A + B = P (للإجابة المكونة من رقمين) ، 100A + 10B + C = P (لثلاثة- إجابة رقمية) ، إلخ.

في مثالنا ، (10 أ + ب) ² = ف² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². تذكر أن 10 أ + ب تمثل إجابتنا ، P ، مع وجود B في موضع الآحاد و A في موضع العشرات. على سبيل المثال ، مع A = 1 و B = 2 ، إذن 10A + B يساوي 12. (10 أ + ب) ² هي المساحة الإجمالية للمربع بينما 100A² هي مساحة أكبر مربع فيها ، ب² هي مساحة أصغر مربع فيها ، و 10 أ × ب هي مساحة المستطيلين المتبقيين. من خلال القيام بهذه العملية الطويلة والمعقدة ، نجد المساحة الإجمالية للمربع بجمع مساحات المربعات والمستطيلات بداخلها.

الخطوة 7. اطرح A² من S._أ.

إنقاص زوج واحد من الأرقام (S_ب) من S. قيمة S._أ س_ب قريبة من المساحة الكلية للمربع ، والتي استخدمتها للتو لطرح المربع الداخلي الأكبر. يمكن اعتبار الباقي على أنه الرقم N1 ، الذي حصلنا عليه في الخطوة 4 (N1 = 380 في مثالنا). N1 يساوي 2 & مرات: 10A × B + B² (مساحة المستطيلين بالإضافة إلى مساحة المربع الأصغر).

الخطوة الثامنة: أوجد N1 = 2 × 10A × B + B² ، والتي تتم كتابتها أيضًا على الشكل N1 = (2 × 10A + B) × B

في مثالنا ، أنت تعرف بالفعل N1 (380) و A (2) ، لذلك عليك أن تجد B على الأرجح ليس عددًا صحيحًا ، لذلك تحتاج حقًا إلى إيجاد أكبر عدد صحيح B مثل (2 × 10A + ب) × ب N1. إذن لديك: N1 <(2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)

الخطوة 9. الانتهاء

لحل هذه المعادلة ، اضرب A في 2 ، وانقل النتيجة إلى موضع العشرات (ما يعادل الضرب في 10) ، ضع B في موضع الآحاد ، واضرب الرقم في B. وبعبارة أخرى ، حل (2 × 10A + ب) × ب. هذا هو بالضبط ما تفعله عندما تكتب "N_ × _ =" (مع N = 2 × A) في الربع الأيمن السفلي في الخطوة 4. في الخطوة 5 ، تجد أكبر عدد صحيح B يتوافق مع الرقم أدناه بحيث (2 × 10A + B) × B N1.

الخطوة 10. اطرح المساحة (2 × 10A + B) × B من المساحة الكلية

ينتج عن هذا الطرح المنطقة S- (10A + B) ² التي لم يتم حسابها (والتي سيتم استخدامها لحساب الرقم التالي بنفس الطريقة).

الخطوة 11. لحساب الرقم التالي ، C ، كرر العملية

اخفض الزوج التالي (S._ج) من S للحصول على N2 على اليسار ، وابحث عن أكبر C بحيث يكون لديك (2 × 10 × (10A + B) + C) × C N2 (ما يعادل كتابة ضعف الرقم المكون من رقمين "AB" متبوعًا بـ "_ × _ =" ابحث عن أكبر رقم مطابق في الفراغات ، والذي يعطي إجابة أقل من أو تساوي N2 ، كما كان من قبل.

نصائح

نقل فاصلة عشرية بمضاعف رقمين في رقم (مضاعف 100) ، يعني تحريك فاصلة عشرية بمضاعف رقم واحد في جذرها التربيعي (مضاعف 10).
في هذا المثال ، يمكن اعتبار 1.73 "باقيًا": 780 ، 14 = 27 ، 9² + 1.73.
يمكن استخدام هذه الطريقة لأي قاعدة ، وليس فقط للقاعدة 10 (عشري).
يمكنك استخدام حساب التفاضل والتكامل الذي يناسبك أكثر. يكتب بعض الناس النتيجة فوق الرقم الأولي.
طريقة بديلة لاستخدام الكسور المتكررة هي اتباع هذه الصيغة: z = (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x +…))). على سبيل المثال ، لحساب الجذر التربيعي لـ 780 ، 14 ، العدد الصحيح الذي تكون قيمته التربيعية أقرب إلى 780 ، 14 هي 28 ، لذا z = 780 ، 14 ، x = 28 ، و y = -3 ، 86. إدخال القيم وحساب التقديرات فقط لـ x + y / (2x) ينتج (بأبسط العبارات) 78207/20800 أو حوالي 27 ، 931 (1) ؛ الفصل التالي ، 4374188/156607 أو ما يقرب من 27 ، 930986 (5). يضيف كل مصطلح حوالي 3 منازل عشرية لدقة العدد السابق من المنازل العشرية.