في "نظام المعادلات" ، يُطلب منك حل معادلتين أو أكثر في وقت واحد. عندما تحتوي المعادلتان على متغيرين مختلفين ، على سبيل المثال x و y ، فقد يبدو الحل صعبًا في البداية. لحسن الحظ ، بمجرد أن تعرف ما عليك القيام به ، يمكنك ببساطة استخدام مهاراتك الجبرية (وعلم حساب الكسور) لحل المشكلة. تعلم أيضًا كيفية رسم هاتين المعادلتين إذا كنت متعلمًا بصريًا أو مطلوبًا من قبل المعلم. ستساعدك الرسومات في تحديد الموضوع أو التحقق من نتائج عملك. ومع ذلك ، فإن هذه الطريقة أبطأ من الطرق الأخرى ، ولا يمكن استخدامها لجميع أنظمة المعادلات.
خطوة
طريقة 1 من 3: استخدام طريقة الاستبدال
الخطوة 1. انقل المتغيرات إلى الجانب الآخر من المعادلة
تبدأ طريقة الاستبدال بـ "إيجاد قيمة x" (أو أي متغير آخر) في إحدى المعادلات. على سبيل المثال ، لنفترض أن معادلة المشكلة هي 4 س + 2 ص = 8 و 5 س + 3 ص = 9. ابدأ بالعمل على المعادلة الأولى. أعد ترتيب المعادلة بطرح 2y على كلا الجانبين. وهكذا تحصل 4 س = 8 - 2 ص.
تستخدم هذه الطريقة غالبًا الكسور في النهاية. إذا كنت لا تحب عد الكسور ، فجرب طريقة الحذف أدناه
الخطوة 2. قسّم طرفي المعادلة "لإيجاد قيمة x"
بمجرد أن يكون المصطلح x (أو أي متغير تستخدمه) بمفرده في جانب واحد من المعادلة ، اقسم طرفي المعادلة على المعاملات بحيث يبقى المتغير فقط. كمثال:
- 4 س = 8 - 2 ص
- (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
- س = 2 - ص
الخطوة 3. عوّض بقيمة x من المعادلة الأولى في المعادلة الثانية
تأكد من إدخالها في المعادلة الثانية ، بدلاً من المعادلة التي عملت عليها للتو. عوّض (استبدل) المتغير x في المعادلة الثانية. وهكذا ، فإن المعادلة الثانية لديها الآن متغير واحد فقط. كمثال:
- معروف س = 2 - ص.
- معادلتك الثانية هي 5 س + 3 ص = 9.
- بعد تبديل متغير x في المعادلة الثانية بقيمة x من المعادلة الأولى ، نحصل على "2 - y": 5 (2 - ص) + 3 ص = 9.
الخطوة 4. حل المتغيرات المتبقية
الآن ، تحتوي معادلتك على متغير واحد فقط. احسب المعادلة مع العمليات الجبرية العادية لإيجاد قيمة المتغير. إذا ألغى المتغيرين بعضهما البعض ، فانتقل مباشرة إلى الخطوة الأخيرة. وإلا ستحصل على قيمة لأحد المتغيرات:
- 5 (2 - ص) + 3 ص = 9
- 10 - (5/2) ص + 3 ص = 9
- 10 - (5/2) ص + (6/2) ص = 9 (إذا لم تفهم هذه الخطوة ، فتعلم كيفية جمع الكسور.)
- 10 + ص = 9
- ص = -1
- ص = -2
الخطوة 5. استخدم الإجابة التي تم الحصول عليها لإيجاد القيمة الحقيقية لـ x في المعادلة الأولى
لا تتوقف فقط لأن حساباتك لم تنته بعد. يجب عليك إدخال الإجابة التي تم الحصول عليها في المعادلة الأولى للعثور على قيمة المتغيرات المتبقية:
- معروف ص = -2
- إحدى المعادلات في المعادلة الأولى هي 4 س + 2 ص = 8. (يمكنك استخدام أي منهما.)
- استبدل المتغير y بـ -2: 4 س + 2 (-2) = 8.
- 4 س - 4 = 8
- 4 س = 12
- س = 3
الخطوة 6. تعرف على ما يجب فعله إذا ألغى المتغيرين بعضهما البعض
عندما تدخل س = 3 ص + 2 أو إجابة مشابهة للمعادلة الثانية ، بمعنى أنك تحاول الحصول على معادلة بها متغير واحد فقط. في بعض الأحيان ، تحصل فقط على المعادلة بدون عامل. تحقق مرة أخرى من عملك ، وتأكد من وضع (إعادة ترتيب) المعادلة رقم واحد في المعادلة الثانية ، بدلاً من الرجوع إلى المعادلة الأولى. عندما تكون متأكدًا من أنك لم تفعل شيئًا خاطئًا ، اكتب إحدى النتائج التالية:
- إذا كانت المعادلة لا تحتوي على متغيرات وغير صحيحة (على سبيل المثال ، 3 = 5) ، فهذه المشكلة ليس لديهم إجابة. (عندما يتم رسم هذا الرسم البياني ، فإن هاتين المعادلتين متوازيتان ولا تلتقيان أبدًا.)
- إذا كانت المعادلة لا تحتوي على متغيرات و صيح ، (على سبيل المثال 3 = 3) ، مما يعني أن السؤال له إجابات غير محدودة. المعادلة الأولى هي نفسها المعادلة الثانية تمامًا. (عند الرسم البياني ، فإن هاتين المعادلتين هما نفس الخط.)
طريقة 2 من 3: استخدام طريقة الحذف
الخطوة 1. ابحث عن المتغيرات المتنافية
في بعض الأحيان ، تكون المعادلة في المشكلة بالفعل إلغاء بعضها البعض عند إضافته. على سبيل المثال ، إذا قمت بإجراء المعادلة 3 س + 2 ص = 11 و 5 س - 2 ص = 13 ، فإن المصطلحين "+ 2y" و "-2y" سوف يلغي كل منهما الآخر ويزيل المتغير "y" من المعادلة. انظر إلى المعادلة في المسألة ، ولاحظ ما إذا كانت هناك متغيرات تلغي بعضها البعض ، كما في المثال. إذا لم يكن كذلك ، فتابع إلى الخطوة التالية.
الخطوة 2. اضرب المعادلة في واحد بحيث يتم حذف متغير واحد
(تجاوز هذه الخطوة إذا كانت المتغيرات تلغي بعضها البعض بالفعل). إذا لم يكن للمعادلة متغيرات تلغي من تلقاء نفسها ، فغيّر إحدى المعادلتين حتى تتمكن من إلغاء بعضها البعض. ألق نظرة على الأمثلة التالية حتى تتمكن من فهمها بسهولة:
- المعادلات في المشكلة هي 3 س - ص = 3 و - x + 2 ص = 4.
- دعونا نغير المعادلة الأولى بحيث المتغير ذ يلغي كل منهما الآخر. (يمكنك استخدام المتغير x. ستكون الإجابة النهائية التي تم الحصول عليها هي نفسها).
- عامل - ذ في المعادلة الأولى بواسطة + 2 س في المعادلة الثانية. كيف اضرب - ذ مع 2.
- اضرب طرفي المعادلة في 2 كما يلي: 2 (3 س - ص) = 2 (3) ، وبالتالي 6 س - 2 ص = 6. الآن ، القبيلة - 2 سنة سوف تلغي بعضها البعض مع + 2 س في المعادلة الثانية.
الخطوة 3. اجمع المعادلتين
الحيلة هي إضافة الجانب الأيمن من المعادلة الأولى إلى الجانب الأيمن من المعادلة الثانية ، وإضافة الجانب الأيسر من المعادلة الأولى إلى الجانب الأيسر من المعادلة الثانية. إذا تم القيام به بشكل صحيح ، فسيقوم أحد المتغيرات بإلغاء بعضها البعض. دعنا نحاول متابعة الحساب من المثال السابق:
- المعادلتان الخاصتان بك هما 6 س - 2 ص = 6 و - x + 2 ص = 4.
- أضف الجوانب اليسرى للمعادلتين: 6 س - 2 ص - س + 2 ص =؟
- اجمع الجوانب اليمنى من المعادلتين: 6 س - 2 ص - س + 2 ص = 6 + 4.
الخطوة 4. احصل على آخر قيمة متغيرة
بسّط معادلتك المركبة ، واعمل على الجبر القياسي للحصول على قيمة المتغير الأخير. إذا لم يكن للمعادلة متغيرات بعد التبسيط ، فانتقل إلى الخطوة الأخيرة في هذا القسم.
خلاف ذلك ، ستحصل على قيمة لأحد المتغيرات. كمثال:
- معروف 6 س - 2 ص - س + 2 ص = 6 + 4.
- متغيرات المجموعة x و ذ سويا: 6 س - س - 2 ص + 2 ص = 6 + 4.
- بسّط المعادلة: 5 س = 10
- أوجد قيمة x: (5x) / 5 = 10/5 ، ليحصل س = 2.
الخطوة 5. أوجد قيمة متغير آخر
لقد وجدت قيمة أحد المتغيرات ، لكن ماذا عن الآخر؟ عوض بإجابتك في إحدى المعادلات لإيجاد قيمة المتغير المتبقي. كمثال:
- معروف س = 2 ، وإحدى المعادلات في المسألة هي 3 س - ص = 3.
- استبدل المتغير x بـ 2: 3 (2) - ص = 3.
- أوجد قيمة y في المعادلة: 6 - ص = 3
- 6 - ص + ص = 3 + ص ، وبالتالي 6 = 3 + ص
- 3 = ص
الخطوة 6. تعرف على ما يجب فعله عندما يلغي المتغيرين بعضهما البعض
في بعض الأحيان ، ينتج عن دمج معادلتين معادلة غير منطقية أو لا تساعدك في حل المشكلة. راجع عملك ، وإذا كنت متأكدًا من أنك لم تفعل شيئًا خاطئًا ، فاكتب إحدى الإجابتين التاليتين:
- إذا كانت المعادلة المجمعة لا تحتوي على متغيرات وكانت غير صحيحة (على سبيل المثال ، 2 = 7) ، فهذه المشكلة ليس لديهم إجابة. تنطبق هذه الإجابة على كلا المعادلتين. (عندما يتم رسم هذا الرسم البياني ، فإن هاتين المعادلتين متوازيتان ولا تلتقيان أبدًا.)
- إذا كانت المعادلة المجمعة لا تحتوي على متغيرات و صيح ، (على سبيل المثال 0 = 0) ، مما يعني أن السؤال له إجابات غير محدودة. هاتان المعادلتان متطابقتان مع بعضهما البعض. (عند الرسم البياني ، فإن هاتين المعادلتين هما نفس الخط.)
طريقة 3 من 3: ارسم رسمًا بيانيًا للمعادلات
الخطوة 1. نفذ هذه الطريقة فقط عندما يُطلب منك ذلك
ما لم تكن تستخدم جهاز كمبيوتر أو آلة حاسبة بالرسوم البيانية ، يمكن أن توفر هذه الطريقة إجابات تقريبية فقط. قد يخبرك معلمك أو كتابك المدرسي باستخدام هذه الطريقة للتعود على عادة رسم المعادلات كخطوط. يمكن أيضًا استخدام هذه الطريقة للتحقق من الإجابة على إحدى الطرق المذكورة أعلاه.
الفكرة الرئيسية هي أنك تحتاج إلى وصف المعادلتين وإيجاد نقطة تقاطعهما. قيمة x و y عند نقطة التقاطع هذه هي حل المشكلة
الخطوة 2. أوجد قيم y لكلتا المعادلتين
لا تجمع بين المعادلتين ، وتغيير كل معادلة بحيث يكون التنسيق "y = _x + _". كمثال:
- معادلتك الأولى هي 2 س + ص = 5. التغيير إلى ص = -2 س + 5.
- معادلتك الأولى هي - 3 س + 6 ص = 0. التغيير إلى 6 ص = 3 س + 0 ، وتبسيط إلى ص = س + 0.
- إذا كانت المعادلتان لديك متطابقتين تمامًا ، الخط بأكمله هو "تقاطع" المعادلتين. اكتب إجابات غير محدودة كإجابة.
الخطوة 3. ارسم محاور الإحداثيات
ارسم خطًا عموديًا "المحور ص" وخط "المحور السيني" الأفقي على ورقة الرسم البياني. بدءًا من النقطة التي يتقاطع فيها المحاوران (0 ، 0) ، اكتب تسميات الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، وهكذا بالتتابع للإشارة إلى الأعلى على المحور الصادي ، والإشارة إلى اليمين على المحور السيني. بعد ذلك ، قم بتدوين تسميات الأرقام -1 ، -2 ، وهكذا مع الإشارة بالتتابع لأسفل على المحور ص ، والإشارة إلى اليسار على المحور س.
- إذا لم يكن لديك ورق رسم بياني ، فاستخدم مسطرة للتأكد من أن التباعد بين كل رقم هو نفسه تمامًا.
- إذا كنت تستخدم أعدادًا كبيرة أو كسور عشرية ، فإننا نوصي بقياس الرسم البياني (على سبيل المثال 10 ، 20 ، 30 أو 0 ، 1 ، 0 ، 2 ، 0 ، 3 بدلاً من 1 ، 2 ، 3).
الخطوة 4. ارسم نقطة تقاطع y لكل معادلة
إذا كانت المعادلة في الشكل ص = _x + _ ، يمكنك البدء في رسم رسم بياني عن طريق تحديد النقطة التي يتقاطع فيها خط المعادلة مع المحور ص. دائمًا ما تكون قيمة y هي نفس الرقم الأخير في المعادلة.
-
استمرارًا للمثال السابق ، السطر الأول (ص = -2 س + 5) يتقاطع مع المحور y عند
الخطوة الخامسة.. السطر الثاني (ص = س + 0) يتقاطع مع المحور ص عند 0. (هذه النقاط مكتوبة بالشكل (0 ، 5) و (0 ، 0) على الرسم البياني.)
- إذا أمكن ، ارسم الخطين الأول والثاني بأقلام أو أقلام رصاص ملونة مختلفة.
الخطوة 5. استخدم المنحدر لمواصلة الخط
في شكل معادلة ص = _x + _ ، يشير الرقم الموجود أمام x إلى "مستوى ميل" الخط. في كل مرة يتم زيادة x بمقدار واحد ، ستزداد قيمة y بعدد مستويات الانحدار. استخدم هذه المعلومات لإيجاد نقاط كل سطر على الرسم البياني عندما تكون x = 1. (يمكنك أيضًا إدخال x = 1 في كل معادلة وإيجاد قيمة y.)
- استمرارًا للمثال السابق ، السطر ص = -2 س + 5 منحدر - 2. عند النقطة س = 1 ، يتحرك الخط تحت بمقدار 2 من النقطة x = 0. ارسم خطًا يربط (0 ، 5) بـ (1 ، 3).
- خط ص = س + 0 منحدر ½. عند x = 1 ، يتحرك الخط اركب من النقطة س = 0. ارسم خطًا يربط (0 ، 0) بـ (1 ،).
- إذا كان لخطين نفس الميل ، لن يتقاطع الاثنان أبدًا. وبالتالي ، فإن نظام المعادلات هذا ليس له إجابة. اكتب لا اجابة كإجابة.
الخطوة 6. استمر في توصيل الخطين حتى يتقاطع الخطان
توقف عن العمل وألق نظرة على الرسم البياني الخاص بك. إذا تقاطع الخطان مع بعضهما البعض ، فتابع إلى الخطوة التالية. إذا لم يكن الأمر كذلك ، اتخذ قرارًا بناءً على موضع الخطين:
- إذا اقترب الخطان من بعضهما البعض ، فاستمر في توصيل نقاط خطوطك.
- إذا ابتعد الخطان عن بعضهما البعض ، فارجع للخلف وقم بتوصيل النقاط في اتجاهين متعاكسين ، بدءًا من x = 1.
- إذا كان الخطان بعيدان جدًا ، فحاول القفز وربط النقاط بعيدًا ، على سبيل المثال x = 10.
الخطوة 7. ابحث عن الإجابة عند نقطة التقاطع
بعد تقاطع الخطين ، تكون قيمة x و y عند هذه النقطة هي إجابة مشكلتك. إذا كنت محظوظًا ، فستكون الإجابة عددًا صحيحًا. على سبيل المثال ، في مثالنا يتقاطع الخطان عند النقطة (2, 1) لذا فإن الجواب س = 2 وص = 1. في بعض أنظمة المعادلات ، تكون النقطة التي يتقاطع فيها الخط بين عددين كاملين ، وإذا لم يكن الرسم البياني دقيقًا للغاية ، فمن الصعب تحديد مكان قيمتي x و y عند نقطة التقاطع. إذا كان مسموحًا بذلك ، يمكنك كتابة "x تقع بين 1 و 2" كإجابة ، أو استخدام طريقة الاستبدال أو الحذف للعثور على الإجابة.
نصائح
- يمكنك التحقق من عملك عن طريق إدخال الإجابات في المعادلة الأصلية. إذا تبين أن المعادلة صحيحة (على سبيل المثال 3 = 3) ، فهذا يعني أن إجابتك صحيحة.
- عند استخدام طريقة الحذف ، في بعض الأحيان يتعين عليك ضرب المعادلة برقم سالب حتى تتمكن المتغيرات من إلغاء بعضها البعض.
