المتجه هو كمية مادية لها الحجم والاتجاه (مثل السرعة ، والتسارع ، والإزاحة) ، على عكس الحجم الذي يتكون من الحجم فقط (مثل السرعة ، أو المسافة ، أو الطاقة). إذا كان من الممكن إضافة المقاييس عن طريق إضافة مقادير (على سبيل المثال ، 5 كيلو جول بالإضافة إلى عمل 6 كيلو جول يساوي 11 كيلو جول) ، فإن المتجهات تكون صعبة بعض الشيء في الجمع أو الطرح. انظر الخطوة 1 أدناه لمعرفة بعض الطرق لإضافة أو طرح المتجهات.
خطوة
طريقة 1 من 3: إضافة وطرح المتجهات المعروفة مكوناتها
الخطوة الأولى: اكتب مكونات الأبعاد للمتجه في تدوين المتجه
نظرًا لأن المتجهات لها حجم واتجاه ، فيمكن عادةً تقسيمها إلى أجزاء بناءً على أبعاد x و y و / أو z. عادة ما يتم كتابة هذه الأبعاد في تدوين مماثل لوصف نقطة في نظام إحداثيات (على سبيل المثال وغيرها). إذا كنت تعرف هذا الجزء ، فمن السهل جدًا إضافة المتجهات أو طرحها ، ما عليك سوى إضافة أو طرح إحداثيات x و y و z الخاصة بهم.
- لاحظ ما إذا كانت أبعاد المتجه هي 1 أو 2 أو 3. وبالتالي ، يمكن أن يحتوي المتجه على مكونات x و x و y أو x و y و z. يستخدم المثال التالي متجهًا ثلاثي الأبعاد ، لكن العملية تشبه المتجه أحادي أو ثنائي الأبعاد.
- لنفترض أن لدينا متجهين ثلاثي الأبعاد ، المتجه A والمتجه B ، يمكننا كتابة هذه المتجهات باستخدام تدوين المتجه مثل A = و B = ، حيث a1 و a2 هما مكونان x ، و b1 و b2 مكونان y ، و c1 و c2 هي مكونات ض.
الخطوة 2. لإضافة المتجهين ، اجمع مكوناتهما
إذا كان عنصرا المتجه معروفين ، فيمكنك إضافة المتجهين بإضافة مكونات كل منهما. بعبارة أخرى ، أضف المكون x للمتجه الأول إلى المكون x للمتجه الثاني ، وافعل الشيء نفسه مع y و z. الإجابة التي تحصل عليها من جمع مكونات x و y و z لهذه المتجهات هي مكونات x و y و z للمتجه الجديد.
- بعبارات عامة، أ + ب =.
- دعونا نضيف متجهين A و B. A = و B =. أ + ب = أو.
الخطوة الثالثة. لطرح كلا المتجهين ، اطرح مكوناتهما
كما سنناقش لاحقًا ، يمكن اعتبار طرح متجه من متجه آخر على أنه إضافة متجهين مقلوبين. إذا كانت مكونات كلا المتجهين معروفة ، فمن الممكن طرح متجه واحد من الآخر عن طريق طرح المكون الأول من المكون الثاني (أو عن طريق إضافة المكونات السالبة لكليهما).
- بعبارات عامة، أ-ب =
- لنطرح متجهين A و B. A = و B =. أ - ب = أو.
طريقة 2 من 3: إضافة وطرح بالصور باستخدام طريقة الرأس والذيل
الخطوة 1. قم برمز المتجه عن طريق رسمه باستخدام الرأس والذيل
نظرًا لأن النواقل لها كل من الحجم والاتجاه ، فيمكننا القول أن لها ذيلًا ورأسًا. بمعنى آخر ، للمتجه نقطة بداية ونقطة نهاية تشير إلى اتجاه المتجه الذي تكون المسافة من نقطة البداية مساوية لحجم المتجه. عند الرسم ، يأخذ المتجه شكل سهم. رأس السهم هو رأس المتجه ونهاية خط المتجه هي الذيل.
إذا كنت تقوم بإنشاء رسم متجه بأبعاد ، فستحتاج إلى قياس ورسم جميع الزوايا بدقة. ستؤثر الزاوية الخاطئة للصورة على النتيجة الناتجة عند إضافة متجهين أو طرحهما باستخدام هذه الطريقة
الخطوة 2. لإضافة المتجه الثاني أو رسمه أو تحريكه بحيث يلتقي الذيل برأس المتجه الأول
وهذا ما يسمى بدمج نواقل الرأس إلى الذيل. إذا كنت تجمع متجهين فقط ، فإليك ما عليك فعله قبل إيجاد المتجه الناتج.
لاحظ أن الترتيب الذي تضيف به المتجهات لا يهم ، بافتراض أنك تستخدم نفس نقطة البداية. المتجه A + المتجه B = المتجه B + Veltor A
الخطوة 3. للطرح ، أضف إشارة سالبة إلى المتجه
إن تقليل المتجهات باستخدام الصور بسيط للغاية. اعكس اتجاه المتجه ، لكن حافظ على المقدار كما هو وأضف رأسك المتجه وذيلك كالمعتاد. بمعنى آخر ، لطرح متجه ، قم بتدوير المتجه 180ا وإضافة ما يصل.
الخطوة 4. إذا قمت بإضافة أو طرح أكثر من متجهين ، فقم بدمج كل المتجهات بترتيب وجهاً لوجه
ترتيب الدمج لا يهم. يمكن استخدام هذه الطريقة بغض النظر عن عدد النواقل.
الخطوة 5. ارسم متجهًا جديدًا من ذيل المتجه الأول إلى رأس المتجه الأخير
سواء كنت تضيف / تطرح متجهين أو مائة ، فإن المتجه الذي يمتد من نقطة البداية الأولية (ذيل المتجه الأول) إلى نقطة نهاية المتجه الأخير (رأس المتجه الأخير) هو المتجه الناتج أو مجموع كل النواقل الخاصة بك. لاحظ أن هذا المتجه هو بالضبط نفس المتجه الذي تم الحصول عليه عن طريق جمع كل مكونات x و y و / أو z.
- إذا قمت برسم جميع المتجهات الخاصة بك حسب الحجم ، بقياس جميع الزوايا بشكل صحيح ، يمكنك تحديد حجم المتجه الناتج عن طريق قياس الطول. يمكنك أيضًا قياس الزاوية بين الناتج وأي متجه أفقيًا أو رأسيًا لتحديد اتجاهه.
- إذا لم ترسم كل متجهاتك بالحجم ، فقد تضطر إلى حساب حجم الناتج باستخدام حساب المثلثات. ربما تساعد قواعد الجيب وجيب التمام. إذا أضفت أكثر من متجهين ، فمن المفيد إضافة المتجه الأول بالثاني ، ثم إضافة ناتج الثاني إلى الثالث ، وهكذا. راجع الأقسام التالية لمزيد من المعلومات.
الخطوة 6. ارسم المتجه الناتج باستخدام حجمه واتجاهه
يتم تعريف المتجه من خلال طوله واتجاهه. على النحو الوارد أعلاه ، بافتراض أنك رسمت المتجه بدقة ، فإن مقدار المتجه الجديد هو طوله واتجاهه هو الزاوية بالنسبة إلى الاتجاه الرأسي أو الأفقي. استخدم متجهات الوحدة التي تضيفها أو تطرحها لتحديد وحدات مقدار المتجه الناتج.
على سبيل المثال ، إذا كانت المتجهات المضافة تمثل السرعة بالمللي ثانية-1، ثم يمكن تعريف المتجه الناتج على أنه "السرعة × مللي ثانية-1 ضد ذ ا في الاتجاه الأفقي.
الطريقة الثالثة من 3: إضافة وطرح المتجهات عن طريق تحديد مكونات متجهية الأبعاد
الخطوة 1. استخدم علم المثلثات لتحديد مكونات المتجه
للعثور على مكونات المتجه ، عادة ما تحتاج إلى معرفة مقدارها واتجاهها بالنسبة إلى الاتجاه الأفقي أو الرأسي وفهم علم المثلثات. بافتراض متجه ثنائي الأبعاد ، فكر أولاً في المتجه على أنه وتر مثلث قائم الزاوية ضلعه متوازيان مع الاتجاهين x و y. يمكن اعتبار هذين الجانبين كمكونات لمتجه من الرأس إلى الذيل يتم إضافتهما لتشكيل المتجه الخاص بك.
- أطوال كلا الجانبين مساوية لمركبتي x و y للمتجه ويمكن حسابهما باستخدام حساب المثلثات. إذا كانت x مقدارًا متجهًا ، فإن الضلع المجاور لزاوية المتجه (بالنسبة إلى الاتجاهات الأفقية والرأسية وغيرها) يكون xcos (θ) ، بينما الجانب الآخر هو xsin (θ).
- من المهم أيضًا ملاحظة اتجاه مكوناتك. إذا كان المكون يشير إلى إحداثي سالب ، فسيتم إعطاؤه إشارة سالبة. على سبيل المثال ، في مستوى ثنائي الأبعاد ، إذا كان أحد المكونات يشير إلى اليسار أو إلى أسفل ، فإنه يكون سالبًا.
- على سبيل المثال ، لنفترض أن لدينا متجهًا بحجم 3 واتجاه 135ا نسبة إلى الأفقي. باستخدام هذه المعلومات ، يمكننا تحديد أن المكون x هو 3cos (135) = - 2, 12 والمكون y هو 3sin (135) = 2, 12
الخطوة 2. قم بإضافة أو طرح متجهين أو أكثر من المتجهات ذات الصلة
بمجرد العثور على مكونات جميع المتجهات الخاصة بك ، قم بجمعها للعثور على مكونات المتجه الناتج. أولاً ، اجمع كل مقادير المكونات الأفقية (الموازية لاتجاه x). اجمع كل مقادير المكونات الرأسية (الموازية لاتجاه y) بشكل منفصل. إذا كان المكون سالبًا (-) ، يتم طرح حجمه ، وليس إضافته. الإجابة التي تحصل عليها هي مكون المتجه الناتج.
على سبيل المثال ، يتم إضافة المتجه من الخطوة السابقة إلى المتجه. في هذه الحالة ، يصبح المتجه الناتج أو
الخطوة 3. احسب مقدار المتجه الناتج باستخدام نظرية فيثاغورس
نظرية فيثاغورس ج2= أ2+ ب2 ، لإيجاد طول ضلع مثلث قائم الزاوية. بما أن المثلث يتكون من المتجه الناتج ومكوناته هو مثلث قائم الزاوية ، فيمكننا استخدامه لإيجاد طول المتجه وقوته. بما أن c هو مقدار المتجه الناتج ، الذي تبحث عنه ، افترض أن a هو مقدار المكون x و b هو مقدار المكون y. حل باستخدام الجبر.
-
لإيجاد مقدار المتجه الذي كنا نبحث عن مكوناته في الخطوة السابقة ، استخدم نظرية فيثاغورس. حل كما يلي:
- ج2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- ج2=13, 40+47, 33
- ج = -60 ، 73 = 7, 79
الخطوة 4. احسب الاتجاه الناتج باستخدام وظيفة الظل
أخيرًا ، ابحث عن المتجه الناتج عن الاتجاه. استخدم الصيغة = tan-1(ب / أ) ، حيث حجم الزاوية المتكونة في الاتجاه x أو الاتجاه الأفقي ، و b هو حجم المكون y ، و a هو حجم المكون x.
-
لإيجاد اتجاه المتجه ، استخدم = tan-1(ب / أ).
- = تان-1(-6, 88/3, 66)
- = تان-1(-1, 88)
- = -61 ، 99ا
الخطوة 5. ارسم المتجه الناتج وفقًا لحجمه واتجاهه
كما هو مكتوب أعلاه ، يتم تعريف المتجهات من خلال حجمها واتجاهها. تأكد من استخدام الوحدات المناسبة لحجم المتجه الخاص بك.
على سبيل المثال ، إذا كان مثالنا المتجه يمثل قوة (بالنيوتن) ، فيمكننا كتابتها "القوة 7.79 N × -61.99 ا إلى أفقي ".
نصائح
- المتجه يختلف عن الكبير.
- يمكن إضافة أو طرح المتجهات التي لها نفس الاتجاه عن طريق جمع أو طرح مقاديرها. اذا أنت تلخيص متجهان متعاكسان ، يتم طرح مقاديرهما ، ولا تتم إضافتهما.
- يمكن إضافة المتجهات الممثلة في الصورة x i + y j + z k أو طرحها عن طريق إضافة أو طرح معاملات متجهات الوحدات الثلاث. الإجابة أيضًا بصيغة i و j و k.
- يمكنك إيجاد حجم متجه ثلاثي الأبعاد باستخدام الصيغة أ2= ب2+ ج2+ د2 حيث a مقدار المتجه ، و b و c و d هي مكونات كل اتجاه.
- يمكن إضافة متجهات العمود وطرحها عن طريق إضافة أو طرح قيم كل صف.
