6 طرق لحساب الحجم

2024 مؤلف: Jason Gerald | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-15 08:08

يمثل حجم الكائن المساحة ثلاثية الأبعاد التي يشغلها الكائن. يمكنك أيضًا التفكير في الحجم كمقدار الماء (أو الهواء ، أو الرمل ، إلخ) الذي يمكن أن يحمله الشكل إذا كان الشكل ممتلئًا تمامًا. الوحدة المستخدمة بشكل شائع للحجم هي السنتيمتر المكعب (سم³) متر مكعب (م³) ، بوصات مكعبة (بوصة³) و قدم مكعب (ft³). ستعلمك هذه المقالة كيفية حساب أحجام ستة أشكال مختلفة ثلاثية الأبعاد توجد غالبًا في اختبارات الرياضيات ، بما في ذلك المكعبات والأشكال الكروية والأقماع. قد تلاحظ أن العديد من صيغ الحجم هذه تشترك في شيء ما بحيث يسهل تذكرها. انظر إذا كان يمكنك معرفة ذلك!

لمحة سريعة عن المعلومات: حساب حجم النماذج المشتركة

1. بالنسبة لمكعب أو مربع صلب ، قم بقياس الطول والعرض والارتفاع ثم اضربهم جميعًا للحصول على الحجم. مشاهدة الصور والتفاصيل.
2. قس ارتفاع الأنبوب ونصف قطر قاعدته. استخدم نصف القطر هذا لإيجاد مساحة القاعدة باستخدام الصيغة r²، ثم اضرب الناتج في ارتفاع الأنبوب. مشاهدة الصور والتفاصيل.
3. الهرم القياسي حجمه يساوي x مساحة القاعدة x الارتفاع. مشاهدة الصور والتفاصيل.
4. يمكن حساب حجم المخروط باستخدام الصيغة r²ح ، حيث ص هو نصف قطر القاعدة و ع ارتفاع المخروط. مشاهدة الصور والتفاصيل.

5. لقياس حجم الكرة ، كل ما تحتاجه هو نصف قطرها r. أدخل هذه القيمة في الصيغة ⁴/₃ص³. مشاهدة الصور والتفاصيل.

   خطوة

   طريقة 1 من 6: حساب حجم مكعب

   

   الخطوة 1. تعرف على شكل المكعب

   المكعب شكل ثلاثي الأبعاد له ستة أضلاع مربعة متساوية الحجم. بمعنى آخر ، المكعب عبارة عن صندوق له نفس الحجم من جميع الجوانب.

   النرد ذو 6 أوجه هو مثال لمكعب قد تجده في منزلك. عادةً ما تكون مكعبات السكر وكتل أحرف ألعاب الأطفال مكعبات أيضًا

   

   الخطوة 2. تعلم صيغة حجم المكعب

   الصيغة بسيطة V = s3 ، حيث يمثل V الحجم ويمثل s طول ضلع المكعب.

   للعثور على s³، اضرب a في قيمته 3 مرات: s³ = s * s * s

   

   الخطوة 3. قم بقياس طول جانب واحد من المكعب

   بناءً على مهمتك ، قد يحتوي المكعب على هذه المعلومات بالفعل ، أو ستحتاج إلى قياس طول الأضلاع باستخدام المسطرة. ضع في اعتبارك أنه نظرًا لأن هذا مكعب ، فإن جميع أطوال الأضلاع ستكون متساوية ، لذا لا يهم الجانب الذي تقيسه.

   إذا لم تكن متأكدًا بنسبة 100٪ أن الشكل الذي لديك هو مكعب ، فقم بقياس كل جانب لمعرفة ما إذا كان بنفس الحجم. إذا لم تكن هي نفسها ، فيجب عليك استخدام الطريقة أدناه لحساب حجم الكتلة

   

   الخطوة 4. عوّض عن أطوال الأضلاع في الصيغة V = s³ وعد.

   على سبيل المثال ، إذا كان طول جوانب المكعب 5 بوصات ، فستكتب الصيغة على النحو التالي: V = (5 بوصة)³. 5 بوصة * 5 بوصة * 5 بوصة = 125 بوصة³، هذا هو حجم المكعب لدينا!

   

   الخطوة 5. عبر عن النتيجة بوحدات تكعيبية

   في المثال أعلاه ، أطوال أضلاع المكعب تقاس بالبوصة ، لذا فإن وحدة الحجم بالبوصة المكعبة. إذا كان طول الضلع 3 سم مثلا الحجم هو V = (3 سم)³، أو V = 27 سم³.

   الطريقة 2 من 6: حساب حجم الكتلة

   

   الخطوة 1. تعرف على شكل الكتلة

   الكتلة ، التي تسمى أيضًا المنشور المستطيل ، هي شكل ثلاثي الأبعاد بستة جوانب كلها مستطيلة. بمعنى آخر ، الكتلة عبارة عن شكل مستطيل ثلاثي الأبعاد ، أو شكل مربع.

   المكعب عبارة عن قالب خاص له نفس الحجم من جميع الجوانب

   

   الخطوة 2. تعلم صيغة حساب حجم متوازي المستطيلات

   صيغة حجم متوازي المستطيلات هي الحجم = الطول * العرض * الارتفاع ، أو V = PLT.

   

   الخطوة 3. أوجد طول الكتلة

   هذا الطول هو أطول جزء من جانب الشعاع الموازي للسطح الذي توضع عليه الحزمة. قد يكون هذا الطول مذكورًا بالفعل في الرسم التخطيطي ، أو قد تضطر إلى قياسه باستخدام مسطرة أو شريط قياس.

   • مثال: يبلغ طول هذه الكتلة 4 بوصات ، لذا ف = 4 بوصات.
   • لا تقلق كثيرًا بشأن أي جانب هو الطول والعرض والارتفاع. طالما أنك تستخدم ثلاثة قياسات مختلفة ، ستكون النتيجة النهائية هي نفسها ، بغض النظر عن كيفية ترتيبها.

   

   الخطوة 4. ابحث عن عرض الشعاع

   عرض الحزمة هو قياس الجانب الأقصر من الموازاة الصلبة لمكان وضع الشعاع. مرة أخرى ، ابحث عن ملصق على الرسم البياني يشير إلى العرض ، أو قم بقياسه بنفسك باستخدام مسطرة أو شريط قياس.

   • مثال: عرض هذه الكتلة 3 بوصات ، لذا ل = 3 بوصات.
   • إذا كنت تقيس الكتل بمسطرة أو شريط قياس ، فتأكد من القيام بذلك باستخدام نفس الوحدات. لا تقيس جانبًا بالبوصة والآخر بالسنتيمتر ؛ يجب أن تستخدم جميع القياسات نفس الوحدات!

   

   الخطوة 5. أوجد ارتفاع الكتلة

   هذا الارتفاع هو المسافة من سطح الحزمة الموضوعة إلى أعلى الحزمة. ابحث عن معلومات الارتفاع في مخططك ، أو قم بقياس نفسك باستخدام مسطرة أو شريط قياس.

   مثال: ارتفاع هذه الكتلة 6 بوصات ، لذلك t = 6 بوصات

   

   الخطوة 6. أدخل قياسات متوازي المستطيلات في صيغة الحجم واحسبها

   تذكر أن V = PLT.

   في مثالنا ، p = 4 ، l = 3 ، و t = 6. لذلك ، V = 4 * 3 * 6 ، أو 72

   

   الخطوة السابعة: تأكد من كتابة النتيجة بوحدات تكعيبية

   نظرًا لأن كتلة العينة تقاس بالبوصة ، يجب كتابة حجمها على هيئة 72 بوصة مكعبة ، أو 72 بوصة³.

   إذا كانت قياسات متوازي المستطيلات لدينا هي: الطول = 2 سم ، والعرض = 4 سم ، والارتفاع = 8 سم ، فإن حجم الكتلة هو 2 سم * 4 سم * 8 سم ، أو 64 سم³.

   طريقة 3 من 6: حساب حجم الأنبوب

   

   الخطوة 1. تحديد شكل الأنبوب

   الأنبوب هو شكل ثلاثي الأبعاد له طرفان مسطحان متطابقان دائريان الشكل ، وجانب منحني يربط بينهما.

   العلبة هي مثال على الأنبوب ، مثل بطاريات AA أو AAA

   

   الخطوة 2. تذكر صيغة حجم الاسطوانة

   لحساب حجم الأسطوانة ، تحتاج إلى معرفة ارتفاع دائرة القاعدة ونصف قطرها (المسافة من مركز الدائرة إلى الحواف) في الأعلى والأسفل. الصيغة هي V = r²t ، حيث V هو الحجم ، و r نصف قطر دائرة القاعدة ، و t هو الارتفاع ، وقيمة pi الثابتة.

   • في بعض مشاكل الهندسة ، ستكون الإجابة حول pi ، ولكن في معظم الحالات ، يمكننا تقريب pi إلى 3 ، 14. قم بتأكيد ذلك مع مدرسك لمعرفة أيها يفضل.
   • إن صيغة إيجاد حجم الأسطوانة هي في الواقع مشابهة جدًا لصيغة حجم متوازي المستطيلات: كل ما عليك هو ضرب ارتفاع الشكل في مساحة سطح القاعدة. في الصيغة شبه المكعبة ، مساحة السطح هذه هي p * l ، بينما بالنسبة للأسطوانة فهي r²، أي مساحة دائرة نصف قطرها r.

   

   الخطوة 3. أوجد نصف قطر القاعدة

   إذا ورد في الرسم التخطيطي ، فاستخدم القيمة. إذا تم إعطاء القطر بدلاً من نصف القطر ، فكل ما عليك فعله هو القسمة على 2 لمعرفة قيمة نصف القطر (d = 2r).

   

   الخطوة 4. قم بقياس الجسم إذا لم يتم إعطاء نصف قطر

   اعلم أن قياس الأنبوب بدقة قد يكون صعبًا للغاية. إحدى الطرق هي قياس الجزء السفلي من الأنبوب الذي يشير إلى أعلى باستخدام مسطرة أو شريط قياس. ابذل قصارى جهدك لقياس عرض الأسطوانة على أوسع نطاق ، واقسم على 2 لإيجاد نصف القطر.

   • هناك خيار آخر لقياس محيط الأنبوب (المسافة حوله) وهو استخدام شريط قياس أو قطعة من الخيط يمكنك تحديد وقياس الطول بمسطرة. ثم عوض بهذا القياس في الصيغة C (محيط) = 2πr. اقسم المحيط على 2π (6.28) وستحصل على نصف القطر.
   • على سبيل المثال ، إذا كان المحيط الذي تقيسه 8 بوصات ، فإن نصف القطر يساوي 1.27 بوصة.
   • إذا كنت حقًا بحاجة إلى قياسات دقيقة ، فيمكنك استخدام كلتا الطريقتين للتأكد من أن قياساتك متطابقة. إذا لم يكن كذلك ، تحقق مرة أخرى من كليهما. عادة ما تعطي طريقة المحيط نتائج أكثر دقة.

   

   الخطوة 5. احسب مساحة دائرة القاعدة

   أدخل قيمة نصف القطر الأساسي في صيغة r². ثم اضرب نصف القطر في نفسه مرة واضرب الناتج في. كمثال:

   • إذا كان نصف قطر دائرتك 4 بوصات ، فإن مساحة القاعدة هي A = 4².
   • 4² = 4 * 4 أو 16. 16 * (3.14) = 50.24 بوصة²
   • إذا تم إعطاء قطر القاعدة بدلاً من نصف القطر ، فتذكر أن d = 2r. عليك فقط تقسيم القطر إلى النصف لإيجاد نصف القطر.

   

   الخطوة 6. ابحث عن ارتفاع الأنبوب

   هذه هي المسافة بين نصفي الدائرة ، أو المسافة من السطح الذي يوضع عليه الأنبوب. ابحث عن ملصق في الرسم التخطيطي يشير إلى ارتفاع الأنبوب ، أو قم بقياسه باستخدام مسطرة أو شريط قياس.

   

   الخطوة 7. اضرب مساحة القاعدة في ارتفاع الأسطوانة لإيجاد الحجم

   أو يمكنك تخطي خطوة واحدة وإدخال قيم أبعاد الأنبوب في الصيغة V = r²ر. على سبيل المثال مع أنبوب نصف قطره 4 بوصات وارتفاعه 10 بوصات:

   • الخامس = 4²10
   • 4² = 50, 24
   • 50.24 * 10 = 502, 4
   • الخامس = 502 ، 4

   

   الخطوة 8. تذكر أن تذكر إجابتك بوحدات تكعيبية

   يتم قياس أنبوب العينة الخاص بنا بالبوصة ، لذلك يجب التعبير عن حجمه بالبوصة المكعبة: V = 502.4 بوصة³. إذا تم قياس الأسطوانة بالسنتيمتر ، فسيتم التعبير عن حجمها بالسنتيمتر المكعب (سم³).

   طريقة 4 من 6: حساب حجم الهرم العادي

   

   الخطوة الأولى: فهم ما هو الهرم العادي

   الهرم شكل ثلاثي الأبعاد قاعدته مضلع ، والجوانب الجانبية التي تتصل بمحور (رأس الهرم). الهرم المنتظم هرم تكون قاعدته مضلعًا قياسيًا ، مما يعني أن جميع جوانب المضلع متساوية في الطول وجميع الزوايا متساوية.

   • عادة ما نفكر في الهرم على أنه له قاعدة مربعة ، مع جوانب تصل إلى نقطة معينة ، ولكن في الواقع يمكن أن تحتوي قاعدة الهرم على 5 أو 6 أو حتى 100 جانب!
   • الهرم ذو القاعدة الدائرية يسمى المخروط ، والذي سيتم مناقشته في الطريقة التالية.

   

   الخطوة الثانية: تعلم صيغة حساب حجم الهرم العادي

   هذه الصيغة هي V = 1 / 3bt ، حيث b هي مساحة قاعدة الهرم (شكل المضلع أسفله) و t هي ارتفاع الهرم ، أو المسافة العمودية من القاعدة إلى القمة.

   صيغة حجم الهرم الأيمن هي نفسها ، حيث يكون الرأس أعلى مركز القاعدة مباشرةً ، وبالنسبة للهرم المائل ، حيث لا يكون الرأس في المنتصف

   

   الخطوة 3. حساب مساحة القاعدة

   ستعتمد صيغة هذا على عدد الأضلاع التي تحتوي عليها قاعدة الهرم. في الهرم الموضح في الرسم البياني لدينا ، القاعدة عبارة عن مربع طول ضلعه 6 بوصات. تذكر أن صيغة مساحة المربع هي A = s²، حيث s هو طول الضلع. لذلك ، بالنسبة لهذا الهرم ، مساحة القاعدة (6 بوصات) ²، أو 36 بوصة².

   • معادلة مساحة المثلث هي: A = 1 / 2bt ، حيث b هي قاعدة المثلث و t هي الارتفاع.
   • يمكنك العثور على مساحة المضلع القياسي باستخدام الصيغة A = 1 / 2pa ، حيث A هي المنطقة ، و p هي محيط الشكل ، و a هو apothem ، أو المسافة من منتصف الشكل إلى نقطة المنتصف من أحد جوانبه. هذه عملية حسابية أكثر تعقيدًا لن نغطيها في هذه المقالة ، ولكن يمكنك زيارة المقالة حساب مساحة المضلع لمعرفة بعض الإرشادات الجيدة حول كيفية استخدامه. أو يمكنك تبسيط هذه العملية والبحث عن حاسبة المضلع عبر الإنترنت.

   

   الخطوة 4. أوجد ارتفاع الهرم

   في معظم الحالات ، سيظهر هذا في الرسم التخطيطي. في مثالنا ، يبلغ ارتفاع الهرم 10 بوصات.

   

   الخطوة 5. اضرب مساحة قاعدة الهرم في ارتفاعها ، واقسم على 3 لإيجاد الحجم

   تذكر أن صيغة الحجم هي V = 1 / 3bt. في مثالنا الهرم ، الذي تبلغ مساحته 36 وارتفاعه 10 ، الحجم هو: 36 * 10 * 1/3 ، أو 120.

   إذا استخدمنا هرمًا مختلفًا ، على سبيل المثال ، له قاعدة على شكل خماسي بمساحة 26 وارتفاع 8 ، فسيكون الحجم: 1/3 * 26 * 8 = 69 ، 33

   

   الخطوة 6. تذكر أن تذكر إجابتك بوحدات تكعيبية

   القياسات في مثالنا الهرم هي بالبوصة ، لذلك يجب التعبير عن الحجم بالبوصة المكعبة ، 120. إذا تم قياس الهرم بالأمتار ، فيجب التعبير عن الحجم بالأمتار المكعبة (م³).

   طريقة 5 من 6: حساب حجم المخروط

   

   الخطوة 1. تعلم شكل المخروط

   المخروط شكل ثلاثي الأبعاد قاعدته دائرية ورأسه. طريقة أخرى للتفكير في الأمر هي التفكير في المخروط على أنه هرم ذو قاعدة دائرية.

   إذا كان رأس المخروط يقع بالضبط في مركز الدائرة ، فإن المخروط يكون "مخروطًا حقيقيًا". إذا لم يكن الرأس في المنتصف تمامًا ، فإن المخروط يسمى "مخروط مائل". لحسن الحظ ، فإن صيغة حساب حجم كلاهما هي نفسها

   

   الخطوة 2. إتقان معادلة حساب حجم المخروط

   الصيغة هي V = 1 / 3πr²t ، حيث r هو نصف قطر القاعدة الدائرية للمخروط ، حيث t هو الارتفاع ، و pi الثابت ، والذي يتم تقريبه إلى 3.14.

   ص. جزء² من الصيغة تشير إلى مساحة قاعدة المخروط الدائري. لذلك ، فإن صيغة حجم المخروط هي 1/3 بت ، تمامًا مثل صيغة حجم الهرم في الطريقة السابقة!

   

   الخطوة 3. احسب مساحة القاعدة الدائرية للمخروط

   للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة نصف القطر ، والذي يجب كتابته بالفعل في الرسم التخطيطي الخاص بك. إذا أعطيت القطر فقط ، قسّم هذه القيمة على 2 ، لأن القطر يساوي ضعف نصف القطر (d = 2r). ثم أدخل قيمة نصف القطر في الصيغة A = r² لحساب المنطقة.

   • في المثال الموضح بالرسم ، يبلغ نصف قطر قاعدة المخروط 3 بوصات. عندما نعوض بها في الصيغة ، فحينئذٍ: أ = 3².
   • 3² = 3 * 3 أو 0 ، لذا أ = 9π.
   • أ = 28 ، 27 بوصة²

   

   الخطوة 4. أوجد ارتفاع المخروط

   هذه هي المسافة العمودية بين قاعدة المخروط وقمته. في مثالنا ، ارتفاع المخروط 5 بوصات.

   

   الخطوة 5. اضرب ارتفاع المخروط في مساحة القاعدة

   في مثالنا ، هذه المساحة 28.27 بوصة² والارتفاع 5 بوصات ، لذا bt = 28 ، 27 * 5 = 141 ، 35.

   

   الخطوة 6. الآن اضرب الناتج في 1/3 (أو يمكنك القسمة على 3) للعثور على حجم المخروط

   في الخطوة أعلاه ، حسبنا حجم الأسطوانة التي ستتشكل إذا امتدت جدران المخروط مباشرة إلى دائرة أخرى بدلاً من أن تضيق إلى نقطة. ستعطيك القسمة على 3 حجم المخروط نفسه.

   • في مثالنا 141 ، 35 * 1/3 = 47 ، 12 ، هذا هو حجم المخروط.
   • بدلاً من ذلك ، 1/3π3²5 = 47, 12

   

   الخطوة 7. تذكر أن تذكر إجابتك بوحدات تكعيبية

   يُقاس المخروط بالبوصة ، لذا يجب التعبير عن حجمه بالبوصة المكعبة: 47.12 بوصة³.

   طريقة 6 من 6: حساب حجم الكرة

   

   الخطوة 1. اكتشف الشكل

   الكرة هي جسم كروي ثلاثي الأبعاد تمامًا ، حيث تكون كل نقطة على سطحها على مسافة متساوية من مركزها. بمعنى آخر ، ما يتم تضمينه هنا هو كائنات كروية.

   

   الخطوة 2. تعلم صيغة حجم الكرة

   صيغة حجم هذه الكرة هي V = 4 / 3πr³ (اقرأ: "أربعة أثلاث pi r-cube") حيث r هو نصف قطر الكرة وثابت الدبوس (3 ، 14).

   

   الخطوة 3. أوجد نصف قطر الكرة

   إذا كان نصف القطر معطى ، فإن إيجاد r يكون مجرد مسألة سهلة. إذا تم إعطاء القطر ، فيجب عليك القسمة على 2 لإيجاد قيمة نصف القطر. على سبيل المثال ، نصف قطر الكرة في مخططنا يساوي 3 بوصات.

   

   الخطوة 4. قم بقياس الكرة إذا كان نصف القطر غير معروف

   إذا كنت بحاجة إلى قياس جسم كروي (مثل كرة التنس) لإيجاد نصف قطره ، فخذ أولاً خيطًا كبيرًا بما يكفي للالتفاف حول الجسم. ثم ، قم باللف حول الكائن عند أعرض نقطة وحدد مكان ملامسة السلسلة للنهاية مرة أخرى. بعد ذلك ، قم بقياس السلسلة بمسطرة لإيجاد محيطها الخارجي. اقسم هذه القيمة على 2π ، أو 6 ، 28 ، وستحصل على نصف قطر الكرة.

   • على سبيل المثال ، إذا قمت بقياس كرة ووجدت النقطة المحيطية البالغة 18 بوصة ، اقسمها على 6.28 وستحصل على نصف قطر يبلغ 2.87 بوصة.
   • قد يكون قياس الأجسام الكروية أمرًا صعبًا بعض الشيء ، لذا تأكد من قياس 3 مرات مختلفة ، وخذ المتوسط (اجمع القياسات الثلاثة ، ثم اقسم على 3) للتأكد من حصولك على القيمة الأكثر دقة.
   • على سبيل المثال ، إذا كانت قياسات محيطك الخارجي 18 بوصة و 17.75 بوصة و 18.2 بوصة ، اجمعها كلها (18 + 17.5 + 18 ، 2 = 53.95) واقسم النتيجة على 3 (53.95 / 3 = 17 ، 98). استخدم هذا المتوسط في حسابات الحجم الخاصة بك.

   

   الخطوة 5. تكعيب نصف القطر لإيجاد r³.

   هذا يعني أنه يجب عليك ضربه في الرقم نفسه 3 مرات ، لذلك r³ = r * r * r. في مثالنا ، r = 3 ، لذلك r³ = 3 * 3 * 3 أو 27.

   

   الخطوة 6. الآن اضرب إجابتك في 4/3

   يمكنك استخدام الآلة الحاسبة ، أو يمكنك حسابها يدويًا وتبسيط الكسر. في مثالنا ، ضرب 27 في 4/3 = 108/3 ، أو 36.

   

   الخطوة 7. اضرب الناتج في للعثور على حجم الكرة

   الخطوة الأخيرة في حساب الحجم هي ضرب النتيجة في. عادةً ما يكون التقريب إلى رقمين كافيًا لمعظم مسائل الرياضيات (ما لم يصرح معلمك بخلاف ذلك) ، لذا اضرب في 3 و 14 وستجد الإجابة.

   في مثالنا ، 36 * 3 ، 14 = 113 ، 09

   

   الخطوة الثامنة. عبر عن إجابتك بوحدات تكعيبية

   في مثالنا ، يقاس نصف قطر الكرة بالبوصة ، لذا فإن إجابتنا الحقيقية هي V = 113.09 بوصة مكعبة (113.09 بوصة).³).